帮我用最优化问题数学模型写出“对边长为a的正方形铁板，在四个角处剪去相等的正方形以制成方形无盖水槽，问如何剪法使水槽容积最大？”的代码

这个问题可以转化为二维平面内的最优化问题。设剪去的小正方形边长为x，则原正方形铁皮的边长变为a - 2x，因此，水槽底面是一个长宽都为(a - 2x)的矩形，其面积A = (a - 2x)^2。

目标是最大化水槽的容积V，容积V等于底面积乘以高（假设水槽深度也是小正方形的边长x），即 V = x * A = x * (a - 2x)^2。

将这个函数转换成数学模型，我们可以得到一元二次函数的形式：

\[ V(x) = x(a^2 - 4ax + 4x^2) \]

由于这是一个开口向上的抛物线，存在最大值点。我们可以使用求导数找出极值点，然后验证这个点是否是全局最大值点。以下是用Python表达式表示的代码片段：

from sympy import symbols, diff, solve

# 定义变量
x = symbols('x')

# 容积函数
volume = x * (a**2 - 4*a*x + 4*x**2)

# 求导数并设置为0找到极值点
critical_points = solve(diff(volume, x), x)

# 需要检查边界条件x=0和x=(a-2x)，因为x不能超过原来正方形的一半
valid_points = [p for p in critical_points if 0 <= p <= (a / 2)]

# 取有效点的最大值作为解
max_volume = max([volume.subs(x, point) for point in valid_points])

# 最终的答案是最大体积以及对应的x值
solution = {'max_volume': max_volume.evalf(), 'x': valid_points[0].evalf()}

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