[Matlab科学计算] 有限元法求二阶非齐次线性微分方程源代码

假设我们要求解的二阶非齐次线性微分方程为：

$$
\frac{d^2y}{dx^2} + p(x)\frac{dy}{dx} + q(x)y = f(x)
$$

其中 $p(x)$，$q(x)$ 和 $f(x)$ 均已知，并且 $y(x)$ 是未知函数。假设 $y(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上满足边界条件 $y(a)=A$，$y(b)=B$。则该问题的有限元法求解过程如下。

1. 离散化区间 $[a,b]$

将区间 $[a,b]$ 等分为 $n$ 个小区间，每个小区间的长度为 $h=\frac{b-a}{n}$，则区间 $[a,b]$ 的离散化网格为：

$$
a=x_0<x_1<\cdots<x_n=b
$$

其中，$x_i=a+ih$，$i=0,1,\cdots,n$。

2. 选取有限元空间

我们选取的有限元空间是线性元，即每个小区间内的函数 $y(x)$ 用线性函数逼近：

$$
y(x)=c_1(x-x_i)+c_2(x_{i+1}-x)
$$

其中，$c_1$ 和 $c_2$ 是待定系数。这里我们假设 $y(x)$ 在相邻两个节点处的导数相等，即：

$$
y'(x_{i})=y_{i}^{'}=m_i,\quad y'(x_{i+1})=y_{i+1}^{'}=m_{i+1}
$$

3. 构建刚度矩阵和载荷向量

我们需要计算每个小区间内的刚度矩阵和载荷向量，然后将它们组装成整个问题的刚度矩阵和载荷向量。对于一个小区间 $[x_i,x_{i+1}]$，其刚度矩阵和载荷向量为：

$$
[K_i]=\frac{1}{h}
\begin{bmatrix}
1 & -1 \\
-1 & 1
\end{bmatrix}
$$

$$
[F_i]=\frac{1}{2}hf(x_i)
\begin{bmatrix}
1 \\
1
\end{bmatrix}
+\frac{1}{6}h^2(p(x_i)m_i+q(x_i))
\begin{bmatrix}
1 \\
2
\end{bmatrix}
+\frac{1}{6}h^2(p(x_{i+1})m_{i+1}+q(x_{i+1}))
\begin{bmatrix}
2 \\
1
\end{bmatrix}
$$

其中，$m_i$ 和 $m_{i+1}$ 是前面提到的 $y(x)$ 在相邻两个节点处的导数。

4. 组装刚度矩阵和载荷向量

将每个小区间的刚度矩阵和载荷向量组装成整个问题的刚度矩阵和载荷向量，即：

$$
\begin{bmatrix}
K_{11} & K_{12} & \cdots & K_{1n-1} \\
K_{21} & K_{22} & \cdots & K_{2n-1} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
K_{n-1,1} & K_{n-1,2} & \cdots & K_{nn-1}
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
c_1 \\
c_2 \\
\vdots \\
c_n
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
F_1 \\
F_2 \\
\vdots \\
F_n
\end{bmatrix}
$$

其中，$K_{ij}$ 表示第 $i$ 个小区间和第 $j$ 个小区间之间的刚度矩阵，$F_i$ 表示第 $i$ 个小区间的载荷向量。

5. 加入边界条件

将边界条件加入刚度矩阵和载荷向量中。对于 $y(a)=A$，我们将第一行的系数全部置为 $0$，第一个未知量的系数置为 $1$，载荷向量的第一项置为 $A$；对于 $y(b)=B$，我们将最后一行的系数全部置为 $0$，最后一个未知量的系数置为 $1$，载荷向量的最后一项置为 $B$。

6. 求解方程组

将整个问题的刚度矩阵和载荷向量代入方程组，求解未知量 $c_1$ 和 $c_2$。

7. 拟合函数

将求解得到的系数 $c_1$ 和 $c_2$ 带入每个小区间的函数表达式，得到整个问题的近似解。

下面是 Matlab 的源代码实现：

function [x,y] = fem(p,q,f,A,B,n)
% p(x), q(x), f(x) 分别为二阶非齐次线性微分方程的系数
% A, B 分别为边界条件 y(a)=A 和 y(b)=B
% n 表示将区间 [a,b] 等分为 n 个小区间
% 返回值 x 和 y 分别为离散化后的网格和近似解

% 离散化区间 [a,b]
a = 0;
b = 1;
h = (b-a)/n;
x = a:h:b;

% 构建刚度矩阵和载荷向量
K = zeros(n+1,n+1);
F = zeros(n+1,1);
for i = 1:n
    % 刚度矩阵
    K(i:i+1,i:i+1) = K(i:i+1,i:i+1) + 1/h*[1,-1;-1,1];
    % 载荷向量
    m1 = (A-B)/h-p(x(i))/2;
    m2 = (A-B)/h-p(x(i+1))/2;
    F(i:i+1) = F(i:i+1) + h/6*[f(x(i))+2*m1;m2+f(x(i+1))+2*m2];
end

% 加入边界条件
K(1,:) = 0;
K(1,1) = 1;
F(1) = A;
K(n+1,:) = 0;
K(n+1,n+1) = 1;
F(n+1) = B;

% 求解方程组
c = K\F;

% 拟合函数
y = zeros(size(x));
for i = 1:n
    y(i) = c(i)*(x(i+1)-x(i))/h + c(i+1)*(x(i)-x(i))/h;
end

end

我们可以通过调用上述函数来求解一个具体的二阶非齐次线性微分方程。例如，要求解下面的问题：

$$
\frac{d^2y}{dx^2} + x\frac{dy}{dx} + y = e^{x}
$$

其中，$y(0)=1$，$y(1)=e$。我们可以使用下面的代码来求解：

p = @(x) x;
q = @(x) 1;
f = @(x) exp(x);
A = 1;
B = exp(1);
n = 100;
[x,y] = fem(p,q,f,A,B,n);
plot(x,y);

最终得到的近似解如下图所示：