一质点沿x轴作直线运动,它的运动方程为: x[m],则在质点的加速度为零时,该质点的速率为 输入答案 m/s。注意:结果填入整数。
时间: 2024-05-29 15:11:54 浏览: 9
加速度为零时,质点的速率恒定不变,即匀速运动。因此,该质点的速率为常数,可以通过求导运动方程得到:
v = dx/dt
当加速度为零时,即质点的加速度a=0,则有:
d²x/dt² = a = 0
因此,运动方程的二阶导数为零,即:
d²x/dt² = 0
这意味着质点的速度v是一个常数,即:
v = dx/dt = 常数
因此,质点的速率为输入的运动方程x的导数,即:
v = dx/dt = 1 m/s
答案为1。
相关问题
质量为2kg的质点以初速度v0 沿x轴作直线运动,起始位置在坐标原点处,其合力与其速率成正比、与速度方向相反,即: ,则该质点的运动学方程为()
根据牛顿第二定律,合力与物体的加速度成正比,即$F=ma$。由于合力与速率成正比,且与速度方向相反,可以写成$F=-kv$,其中$k$为比例系数。
由于质点沿x轴作直线运动,因此只考虑x轴方向的运动,设质点在$t$时刻的位置为$x(t)$,速度为$v(t)$,加速度为$a(t)$。根据牛顿第二定律可得:
$$
ma=-kv
$$
由于质点质量为2kg,因此$m=2$。将上式改写为:
$$
a=-\frac{k}{2}v
$$
根据速度和加速度的关系,可以得到:
$$
\frac{dv}{dt}=a=-\frac{k}{2}v
$$
将上式改写为分离变量的形式:
$$
\frac{dv}{v}=-\frac{k}{2}dt
$$
两边同时积分:
$$
\ln|v|=-\frac{k}{2}t+C_1
$$
其中$C_1$为常数。由于初始时刻质点速度为$v_0$,因此可以确定常数$C_1$:
$$
\ln|v_0|=-\frac{k}{2}\times 0+C_1
$$
解得$C_1=\ln|v_0|$。因此有:
$$
\ln|v|=-\frac{k}{2}t+\ln|v_0|
$$
将上式改写为指数形式:
$$
|v|=e^{-\frac{k}{2}t+\ln|v_0|}=v_0e^{-\frac{k}{2}t}
$$
由于合力与速率成正比,且与速度方向相反,因此可以写成$F=-kv=-\frac{k}{2}mv=-mv'$,其中$v'$为速度的相反数。因此有:
$$
F=-2v'e^{-\frac{k}{2}t}
$$
根据牛顿第二定律可以得到:
$$
ma=F=-2v'e^{-\frac{k}{2}t}
$$
代入$a=-\frac{k}{2}v$可得:
$$
-\frac{k}{2}v=\frac{d}{dt}(-v'e^{-\frac{k}{2}t})
$$
对右侧进行求导可得:
$$
-\frac{k}{2}v=\frac{k}{2}v'e^{-\frac{k}{2}t}-v'e^{-\frac{k}{2}t}\frac{k}{2}
$$
化简可得:
$$
v=\frac{2v_0}{1+v_0\frac{k}{m}(1-e^{-\frac{k}{m}t})}
$$
将$v$代入$x(t)$的定义式$x(t)=x_0+\int_0^t v(t)dt$中,可以得到:
$$
x(t)=\frac{2v_0}{k}\ln\left(1+v_0\frac{k}{m}(1-e^{-\frac{k}{m}t})\right)
$$
综上,该质点的运动学方程为:
$$
\begin{cases}
x(t)=\frac{2v_0}{k}\ln\left(1+v_0\frac{k}{m}(1-e^{-\frac{k}{m}t})\right)\\
v(t)=\frac{2v_0}{1+v_0\frac{k}{m}(1-e^{-\frac{k}{m}t})}
\end{cases}
$$
已知质点沿x轴正向做匀加速直线运动,加速度大小为-kv,初始质点位于坐标原点O处,初速度大小为V0,求质点的运动方程,给出计算过程
### 回答1:
根据匀加速直线运动的公式,质点的位移可以表示为:x = Vt - 1/2kv^2t^2
质点的速度可以表示为:v = V - kvt
将上式代入位移公式中,得到质点的运动方程为:x = Vt - 1/2(V - kvt)^2/k
计算过程如下:
首先,根据加速度大小为-kv,可以得到质点的加速度公式为:a = -kv
然后,根据初速度大小为V,可以得到质点的初速度公式为:v = V
接着,根据位移公式,可以得到质点的位移公式为:x = Vt - 1/2at^2
将加速度公式代入上式中,得到:x = Vt - 1/2(-kv)t^2
化简得到:x = Vt + 1/2kv^2t^2
然后,根据速度公式,可以得到质点的速度公式为:v = v + at
将加速度公式代入上式中,得到:v = V - kvt
将上式代入位移公式中,得到质点的运动方程为:x = Vt - 1/2(V - kvt)^2/k
因此,质点的运动方程为:x = Vt - 1/2(V - kvt)^2/k
### 回答2:
质点的运动方程可以通过积分得到。
加速度大小为-kv,表示加速度的大小与速度的大小成反比。设质点的位置为x(t),速度为v(t),那么根据题意:
dv(t)/dt = -kv(t) (1)
根据(1)式,我们可以写出一个一阶线性常微分方程:
dv(t)/v(t) = -kdt
对方程两边同时积分:
∫dv(t)/v(t) = -∫kdt
得到:
ln|v(t)| = -kt + C1 (2)
其中C1是任意常数。
初始速度为V0,即当t=0时,v(0)=V0。将这个条件代入(2)式,可以解得C1=ln|V0|。
代入之后的方程变为:
ln|v(t)| = -kt + ln|V0|
再次对方程两边同时应用指数函数,得到:
|v(t)| = e^(-kt + ln|V0|) = |V0|e^(-kt) (3)
质点的速度的正负号表示速度的方向,质点的初速度为正,所以质点的速度会一直保持正值。
根据题意,初始位置为x(0)=0,即质点位于原点。对速度v(t)进行积分,得到:
dx(t)/dt = v(t)
对上式两边同时积分,得到:
∫dx(t) = ∫v(t)dt
x(t) = ∫|V0|e^(-kt)dt
由(3)式可知,|V0|和k为常数,所以可以将|V0|提出积分号外,并对指数函数按照常数法则进行积分:
x(t) = -|V0|/k ∫e^(-kt)dt
x(t) = -|V0|/k * (-1/k) * e^(-kt) + C2
因此,质点的运动方程可以表示为:
x(t) = |V0|/k^2 * e^(-kt) + C2
其中C2为任意常数,由初始位置x(0)=0得到C2=0。
最终质点的运动方程为:
x(t) = |V0|/k^2 * e^(-kt)
计算过程:根据题意列出速度的一阶线性常微分方程,积分得到速度方程,再将速度方程积分得到质点的运动方程。注意方程中的任意常数可以通过给定的初始条件求解。