c++ 拆系数fft

FFT（快速傅立叶变换）是一种用于将时域信号转换为频域表示的算法。在信号处理和数据分析中广泛应用。FFT算法的核心思想是将一个复杂度为O(N^2)的傅立叶变换问题转化为一个复杂度为O(NlogN)的问题，从而大大提高算法的效率。

在进行FFT算法时，我们需要先确定待处理信号的长度。接下来，我们需要对原始信号进行填充，通常是以2的整数次幂为长度，这是为了方便后续计算。然后，我们需要确定拆系数（系数矩阵）的方式。常用的拆系数方式有蝶形形式和雷德算法等。

蝶形形式是FFT算法中最基础的拆系数方式之一。它将FFT的计算过程分解为多个蝶形计算单元，每个蝶形计算单元都是由两个乘法器和两个加法器组成。这种拆系数方式可以减小计算的复杂度，提高算法的效率。

雷德算法是一种对蝶形形式的改进，它通过将一个蝶形计算单元拆分为多个不同阶数的蝶形计算单元来加快计算速度。这种拆系数方式可以减少计算的次数，进一步提高算法的效率。

在进行FFT算法之前，我们还需要对信号进行预处理，包括零填充、加窗等操作，以避免频谱泄漏和谱分辨率降低等问题。

总结来说，拆系数（系数矩阵）是FFT算法中重要的一环，能够通过蝶形形式和雷德算法等方式来提高算法的效率。通过FFT算法，我们可以快速地将时域信号转换为频域表示，从而实现对信号的频谱分析和处理。

相关问题

C++分裂基FFT代码

以下是C++实现的分裂基FFT代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const double pi = acos(-1);
const int maxn = 1 << 20;

struct Complex {
    double x, y;
    Complex(double _x = 0, double _y = 0) { x = _x, y = _y; }
    Complex operator + (const Complex &b) const { return Complex(x + b.x, y + b.y); }
    Complex operator - (const Complex &b) const { return Complex(x - b.x, y - b.y); }
    Complex operator * (const Complex &b) const { return Complex(x * b.x - y * b.y, x * b.y + y * b.x); }
} a[maxn], b[maxn], c[maxn];

void FFT(Complex *A, int len, int type) {
    for (int i = 1, j = 0; i < len; i++) {
        int bit = len >> 1;
        while (j >= bit) j -= bit, bit >>= 1;
        j += bit;
        if (i < j) swap(A[i], A[j]);
    }
    for (int h = 2; h <= len; h <<= 1) {
        Complex wn(cos(2 * pi / h), sin(type * 2 * pi / h));
        for (int j = 0; j < len; j += h) {
            Complex w(1, 0);
            for (int k = j; k < j + h / 2; k++) {
                Complex u = A[k], t = w * A[k + h / 2];
                A[k] = u + t, A[k + h / 2] = u - t, w = w * wn;
            }
        }
    }
    if (type == -1) for (int i = 0; i < len; i++) A[i].x /= len;
}

int main() {
    int n, m;
    cin >> n >> m;
    for (int i = 0; i <= n; i++) scanf("%lf", &a[i].x);
    for (int i = 0; i <= m; i++) scanf("%lf", &b[i].x);
    int len = 1;
    while (len <= n + m) len <<= 1;
    FFT(a, len, 1), FFT(b, len, 1);
    for (int i = 0; i < len; i++) c[i] = a[i] * b[i];
    FFT(c, len, -1);
    for (int i = 0; i <= n + m; i++) printf("%d ", (int)(c[i].x + 0.5));
    return 0;
}

其中，FFT函数实现的是分裂基FFT算法。参数A表示待变换的复数数组，len表示数组长度，type表示变换类型，type=1表示正向变换，type=-1表示逆向变换。在正向变换时，首先进行蝴蝶变换，然后按照长度为2、4、8、...、len的子序列进行迭代，每次迭代使用旋转因子计算出一组长度为h的系数。在逆向变换时，需要对变换后的结果进行归一化，即将每个元素除以len。

编程fft

FFT（快速傅里叶变换）是一种用于计算离散傅里叶变换（DFT）的快速算法。以下是一个C++实现FFT的示例代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1 << 20; // N必须是2的次幂
const double PI = acos(-1.0);
struct Complex {
    double real, imag;
    Complex operator+(const Complex& other) const {
        return {real + other.real, imag + other.imag};
    }
    Complex operator-(const Complex& other) const {
        return {real - other.real, imag - other.imag};
    }
    Complex operator*(const Complex& other) const {
        return {real * other.real - imag * other.imag, real * other.imag + imag * other.real};
    }
};
Complex a[N], b[N], c[N];
int rev[N];
void fft(Complex* a, int n, int inv) {
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        if (i < rev[i]) swap(a[i], a[rev[i]]);
    }
    for (int len = 2; len <= n; len <<= 1) {
        int mid = len / 2;
        Complex w1 = {cos(2 * PI / len), inv * sin(2 * PI / len)};
        for (int j = 0; j < n; j += len) {
            Complex wk = {1, 0};
            for (int k = j; k < j + mid; k++) {
                Complex x = a[k], y = wk * a[k + mid];
                a[k] = x + y, a[k + mid] = x - y;
                wk = wk * w1;
            }
        }
    }
    if (inv == -1) {
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            a[i].real /= n;
            a[i].imag /= n;
        }
    }
}
int main() {
    int n;
    cin >> n;
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        cin >> a[i].real;
    }
    int len = 1, l = 0;
    while (len < n * 2) {
        len <<= 1;
        l++;
    }
    for (int i = 0; i < len; i++) {
        rev[i] = (rev[i >> 1] >> 1) | ((i & 1) << (l - 1));
    }
    fft(a, len, 1);
    for (int i = 0; i < len; i++) {
        a[i] = a[i] * a[i];
    }
    fft(a, len, -1);
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        cout << (int)(a[i].real + 0.5) << " ";
    }
    return 0;
}

这是一个简单的FFT实现，可以用于计算两个多项式的乘积。在这个例子中，输入n表示多项式的项数，然后读取n个实数作为第一个多项式的系数，计算它的平方，并输出结果。请注意，N必须是2的次幂，否则需要补零。