matlab傅里叶级数激励

### 使用MATLAB进行傅里叶级数的信号处理与分析

#### 定义周期函数并计算其傅里叶系数
为了在MATLAB中使用傅里叶级数来表示一个周期函数，首先需要定义该周期函数，并根据给定的时间范围和频率成分计算相应的傅里叶系数。对于任意周期为 \( T \) 的周期函数 \( f(t) \)，可以通过下面的方式计算直流分量、余弦项系数以及正弦项系数：

\[ a_0 = \frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2} f(t)\ dt \]

\[ a_n = \frac{2}{T} \int_{-T/2}^{T/2} f(t) \cdot cos\left(\frac{n \pi t}{T}\right)\ dt \]

\[ b_n = \frac{2}{T} \int_{-T/2}^{T/2} f(t) \cdot sin\left(\frac{n \pi t}{T}\right)\ dt \][^5]

这些积分可以直接利用MATLAB内置的数值积分功能`integral()`来进行近似。

#### 构建傅里叶级数模型
一旦获得了上述提到的各项系数之后，则可以根据它们构建出完整的傅里叶级数表达式:

\[ S_N(t) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{N}(a_ncos(ntw)+bnsin(ntw)) \]

其中\( w=\frac{\omega }{T}=2π/T\)代表角速度；而\( N \)则是所考虑的最大谐波次数。随着\( N \)增大，重建后的信号越接近原始输入信号[^3]。

下面是具体的MATLAB代码实现：

% 参数设置
L = pi; % 半周期长度
k = 10; % 展开阶次
t = linspace(-L,L,1e3);

% 计算傅里叶系数
syms x;
f = @(x)x; % 函数F(X)=X作为例子
a0 = integral(@(x)f(x), -L, L)/(2*L);
an = zeros(k,1); bn = zeros(k,1);
for n = 1 : k
    an(n) = integral(@(x)f(x).*cos(n*pi*x/L), -L, L)/L;
    bn(n) = integral(@(x)f(x).*sin(n*pi*x/L), -L, L)/L;
end

% 绘制原函数曲线
figure();
plot(t,f(t),'r','LineWidth',2);
hold on;

% 进行傅里叶级数合成
S = ones(size(t))*a0/2;
for i = 1:length(an)
    S = S + an(i)*cos(i*t*pi/L) + bn(i)*sin(i*t*pi/L);
end

% 显示结果
plot(t,S,'b--');
legend('Original Function F(x)','Fourier Series Approximation');
xlabel('Time'); ylabel('Amplitude');
title(['Approximation with ',num2str(k),' terms']);
grid minor;

此段脚本实现了对指定区间内的线性函数\( F(x)=x \)进行了傅里叶级数展开，并将其可视化以便观察两者之间的差异程度[^5]。