sinx除以x²积分怎么算
时间: 2023-03-02 08:18:12 浏览: 337
这个不好算。
关于函数`sinx/x²`的积分,存在两种方法:使用数学方法(例如分部积分)和使用计算机代数系统(CAS)。
在数学方法中,这个积分不存在显式解析解,但是可以使用分部积分,然后利用特殊函数(如 Dirac-delta 函数)求得近似解。
在 CAS 中,可以使用程序求解积分。例如,使用 Mathematica 的话,可以输入:
```
Integrate[Sin[x]/x^2, x]
```
然后,Mathematica 就会给出答案:
```
-Cos[x]/x + Sin[x]/x^2
```
请注意,这是近似解,并不是准确解。
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求sinx/x²积分
### 回答1:
这是一个常见的积分,可以用分部积分法解决。
令u = sin(x),dv = 1/x² dx,则du/dx = cos(x),v = -1/x。
根据分部积分公式,积分结果为:
∫ sin(x)/x² dx = -sin(x)/x + ∫ cos(x)/x dx
再用一次分部积分法解决∫ cos(x)/x dx:
令u = cos(x),dv = 1/x dx,则du/dx = -sin(x),v = ln|x|。
根据分部积分公式,积分结果为:
∫ cos(x)/x dx = ln|x|cos(x) + ∫ sin(x)/x² dx
将该式代入前面的积分结果,得到:
∫ sin(x)/x² dx = -sin(x)/x + ln|x|cos(x) + C
其中C为常数。
### 回答2:
要求解积分∫(sinx/x²)dx,我们可以使用分部积分法。
首先,我们选取分部积分的式子,将∫(sinx/x²)dx写为∫(1/x²)(sinx)dx。然后,我们令u = 1/x² 和 dv = sinx dx。
对u = 1/x²求导得到du = (-2/x³)dx,对dv = sinx dx积分得到v = -cosx。
然后,根据分部积分公式∫u dv = uv - ∫v du,我们可以得到:
∫(1/x²)(sinx)dx = -cosx/x² + 2∫(cosx/x³)dx。
现在,我们需要解决∫(cosx/x³)dx 这个新的积分。我们可以使用再次利用分部积分法:
令u = cosx 和 dv = (1/x³)dx。
对u = cosx求导得到du = -sinx dx,对dv = (1/x³)dx积分得到v = -1/(2x²)。
根据分部积分公式∫u dv = uv - ∫v du,我们可以得到:
∫(cosx/x³)dx = -1/(2x²) cosx + 1/2 ∫(sinx/x²)dx。
现在,我们需要解决∫(sinx/x²)dx 这个新的积分。刚才的过程中我们已经把它写作了新的积分,所以我们可以继续使用分部积分法。
以相同的方式,令u = sinx 和 dv = (1/x²)dx。
对u = sinx求导得到du = cosx dx,对dv = (1/x²)dx积分得到v = -1/x。
根据分部积分公式∫u dv = uv - ∫v du,我们可以得到:
∫(sinx/x²)dx = -sinx/x - ∫(-cosx/x)dx = -sinx/x + ∫(cosx/x)dx。
现在,我们需要解决新的积分∫(cosx/x)dx。我们可以使用一种名为级数展开法来解决它。
将(cosx/x)展开为无限级数,我们可以得到:
(cosx/x) = 1 - (x²/2!) + (x⁴/4!) - (x⁶/6!) + ...
现在,我们可以对该级数展开式逐项进行积分,并且每一项的积分可以直接计算。最终,我们可以得到该级数的积分:
∫(cosx/x)dx = ∫(1 - (x²/2!) + (x⁴/4!) - (x⁶/6!) + ...)dx
= ln|x| + C。
将这个结果代回之前的等式中,我们可以得到最终的积分∫(sinx/x²)dx的解答:
∫(sinx/x²)dx = -sinx/x + ln|x| + C。
其中,C是常数。
### 回答3:
要求$f(x)=\frac{\sin x}{x^2}$的积分。
我们可以通过应用分部积分公式来计算该积分。分部积分公式的一般形式是:
$$\int u \, dv = u \, v - \int v \, du$$
首先,我们需要选择一个函数作为$u$和另一个函数作为$dv$。让我们选择$u=\frac{1}{x^2}$和$dv=\sin x \, dx$。
首先计算$du$和$v$。对$u$求导,得到$du=-\frac{2}{x^3} \, dx$。对$dv$积分,得到$v=-\cos x$。
现在我们可以应用分部积分公式:
$$\int \frac{\sin x}{x^2} \, dx = \frac{1}{x^2}(-\cos x) - \int (-\cos x) \left(-\frac{2}{x^3}\right) \, dx$$
$$= -\frac{\cos x}{x^2} + 2 \int \frac{\cos x}{x^3} \, dx$$
现在我们再次使用分部积分公式,选择$u=\frac{1}{x^3}$和$dv=\cos x \, dx$。计算$du$和$v$得到$du=-\frac{3}{x^4} \, dx$和$v=\sin x$。
将结果代入上面的等式中:
$$\int \frac{\sin x}{x^2} \, dx = -\frac{\cos x}{x^2} + 2 \left(\frac{1}{x^3} \sin x - \int \frac{\sin x}{x^4} \, dx\right)$$
我们可以继续重复这个过程,直到达到所需的准确度。然而,由于此处的演算变得冗长,我将节略。请注意,这是一个无穷级数的总和,并且可能没有一个简洁的解析表达式。
因此,$f(x)=\frac{\sin x}{x^2}$的积分可以表示为:
$$\int \frac{\sin x}{x^2} \, dx = -\frac{\cos x}{x^2} + 2 \left(\frac{1}{x^3} \sin x - \frac{2}{x^4}\cos x + \frac{6}{x^5}\sin x - \dots \right)$$
python中sinx除以x怎么打
在 Python 中,可以使用 `math` 模块来计算 `sin(x)/x`,具体步骤如下:
```python
import math
x = 2.0 # 定义 x 的值
result = math.sin(x) / x # 计算 sin(x)/x
print(result) # 输出结果
```
在这个例子中,我们将 x 的值设置为 2.0,然后使用 `math.sin()` 函数计算 sin(x) 的值,再将其除以 x 得到最终结果,最后将结果打印出来。注意,由于 `math.sin()` 函数返回的是一个浮点数,因此我们将 x 也定义为浮点数。