请从“证据下界”角度推导变分自编码器的损失函数

好的，从“证据下界”（Evidence Lower Bound, ELBO）的角度推导变分自编码器（VAE）的损失函数。

首先，我们假设数据 $x$ 服从概率分布 $p_{\text{data}}(x)$，并设 $z$ 为潜在变量（latent variable），其先验概率分布为 $p(z)$，条件概率分布为 $p_{\text{model}}(x|z)$，表示在潜在变量 $z$ 给定的情况下生成数据 $x$ 的概率。

VAE的目标是最大化条件概率 $p_{\text{model}}(x|z)$，但这是不可行的，因为我们无法获得 $p_{\text{data}}(x)$ 的真实分布。因此，我们引入一个近似分布 $q_{\phi}(z|x)$，它可以被看作是给定数据 $x$ 条件下潜在变量 $z$ 的后验概率分布的近似值。这个近似分布是由一个编码器（encoder）神经网络 $q_{\phi}(z|x)$ 生成的，其中 $\phi$ 表示网络的参数。

根据贝叶斯公式，我们可以得到：

$$p_{\text{model}}(x) = \int p_{\text{model}}(x|z)p(z)dz$$

$$= \int p_{\text{model}}(x|z)p(z)\frac{q_{\phi}(z|x)}{q_{\phi}(z|x)}dz$$

$$= \mathbb{E}_{q_{\phi}(z|x)}\left[\frac{p_{\text{model}}(x|z)p(z)}{q_{\phi}(z|x)}\right]$$

上式中，我们将积分变成期望，得到一个期望形式的式子。这个期望式子可以被看作是对 $p_{\text{model}}(x)$ 的一个下界，即：

$$\log p_{\text{model}}(x) \ge \mathbb{E}_{q_{\phi}(z|x)}\left[\log\frac{p_{\text{model}}(x|z)p(z)}{q_{\phi}(z|x)}\right]$$

因为 $\log$ 函数是单调递增的，所以上式成立。将上式右边的期望式子展开，可以得到：

$$\mathbb{E}_{q_{\phi}(z|x)}[\log p_{\text{model}}(x|z)] - \text{KL}(q_{\phi}(z|x)||p(z))$$

其中，$\text{KL}(q_{\phi}(z|x)||p(z))$ 表示 $q_{\phi}(z|x)$ 和 $p(z)$ 之间的 KL 散度，可以看作是衡量 $q_{\phi}(z|x)$ 和 $p(z)$ 之间距离的指标。

接下来，我们将上式中的左边期望式子看作是重构误差，右边 KL 散度部分看作是正则项，可以得到 VAE 的损失函数：

$$\mathcal{L} = -\mathbb{E}_{q_{\phi}(z|x)}[\log p_{\text{model}}(x|z)] + \text{KL}(q_{\phi}(z|x)||p(z))$$

这个损失函数可以被看作是最小化重构误差和正则项之和的形式，其中 $-\mathbb{E}_{q_{\phi}(z|x)}[\log p_{\text{model}}(x|z)]$ 表示对重构误差的最小化，$\text{KL}(q_{\phi}(z|x)||p(z))$ 表示对正则项的最小化。通过最小化这个损失函数，我们可以训练 VAE 模型。