编一套多尺度高维稀疏傅里叶算法C++演示并注释

在C++中实现多尺度高维稀疏傅里叶变换（Spectral Transform），我们通常会利用库如Eigen或是专用的稀疏矩阵处理库。这里以Eigen库为例，因为它的高效性和易用性。注意，由于这是一个复杂的主题，下面是一个简化版的示例，展示了如何计算一维稀疏离散傅里叶变换（DFT）。对于更高维度和更复杂的应用，你需要理解并使用循环、递归或者多线程技术。

#include <Eigen/Dense>
#include <Eigen/Sparse>

// 定义稀疏向量
typedef Eigen::SparseVector<double> SparseVec;

// 稀疏一维离散傅里叶变换函数 (假设输入已经预处理成稀疏)
SparseVec sparse_dft(SparseVec& input) {
    int N = input.size(); // 输入长度
    SparseVec output(N); // 初始化输出

    for (int k = 0; k < N; ++k) { // 按频率分块
        double scale = std::exp(-std::complex<double>(0., 2 * M_PI * k / N)); // DFT的系数

        for (Eigen::SparseMatrixIterator<SparseVec> it(input), end; it != end; ++it) { // 遍历输入的非零元素
            int i = it.row(); // 当前元素的索引
            double val = it.value(); // 元素值
            output.coeffRef(k, i) += scale * val; // 更新输出的对应项
        }
    }

    return output; // 返回稀疏傅里叶结果
}

// 示例用法
int main() {
    SparseVec data({0, 4, 9, 0}); // 创建一个稀疏向量作为输入
    SparseVec result = sparse_dft(data);
    std::cout << "稀疏DFT结果:\n" << result << std::endl;

    // ... 更多的处理和展示...

    return 0;
}