$i_t=\sigma(\sum_{j=1}^{n_x}W_{ji}^{x}x_{t,j}+\sum_{j=1}^{n_h}W_{ji}^{h}h_{t-1,j}+\sum_{j=1}^{n_c}W_{ji}^{c}c_{t-1,j}+b_i)$是什么公式，它准确吗

这是长短时记忆网络（LSTM）中的更新门公式，其中$i_t$表示输入门，$x_{t,j}$是输入数据，$h_{t-1,j}$表示上一个时间步的隐藏状态，$c_{t-1,j}$表示上一个时间步的细胞状态，$W_{ji}^{x}$、$W_{ji}^{h}$和$W_{ji}^{c}$是权重参数，$b_i$是偏置项，$\sigma$是sigmoid函数。该公式是正确的。

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def cost_derivative(self, output_activations, y): return (output_activations - y) 把这个函数改为使用交叉熵误差损失函数的导数

交叉熵误差损失函数的导数公式为：

$$\frac{\partial C}{\partial z_j} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \frac{\partial C_i}{\partial z_j} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \frac{\partial a_i}{\partial z_j} \frac{\partial C_i}{\partial a_i} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \frac{\partial a_i}{\partial z_j} (a_i - y_i)$$

其中 $n$ 是样本数量，$z_j$ 是输出层第 $j$ 个神经元的输入加权和，$a_i$ 是网络的输出向量，$y_i$ 是期望的输出向量。

根据交叉熵误差损失函数的定义，$C_i = -\sum_{j=1}^{m} y_{ij} \ln a_{ij}$，其中 $m$ 是输出向量的维度。因此，$\frac{\partial C_i}{\partial a_{ij}} = -\frac{y_{ij}}{a_{ij}}$。

将上式带入导数公式，可得：

$$\frac{\partial C}{\partial z_j} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \frac{\partial a_i}{\partial z_j} (a_i - y_i) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \frac{\partial z_i}{\partial z_j} \frac{\partial a_i}{\partial z_i} (a_i - y_i) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} w_{ji} \sigma'(z_j) (a_i - y_i)$$

其中 $\sigma'(z_j)$ 是 sigmoid 函数的导数，$w_{ji}$ 是连接第 $j$ 个神经元和第 $i$ 个神经元的权重。

因此，将 cost_derivative 函数改为使用交叉熵误差损失函数的导数，代码如下：

def cost_derivative(self, output_activations, y):
    return (output_activations - y) / len(y)  # 使用交叉熵误差损失函数的导数