在Python中，如何通过自适应学习率的梯度下降法优化线性回归模型？请结合黄金分割法给出具体的实现方法和代码示例。

梯度下降法是一种常用的优化算法，尤其在机器学习领域，用于找到多元函数的最小值点。为了提高梯度下降法的性能，可以使用黄金分割法来自适应地调整学习率。下面是如何在Python中结合黄金分割法实现线性回归模型的梯度下降法优化的具体步骤：

参考资源链接：[Python实现梯度下降法：多维无约束极值优化与可视化](https://wenku.csdn.net/doc/645307f3ea0840391e76c6ce?spm=1055.2569.3001.10343)

首先，我们需要定义线性回归的目标函数，通常是一个凸函数。在线性回归中，目标函数通常是损失函数，如均方误差（MSE）：

import numpy as np

# 目标函数 - 线性回归的均方误差
def objective_function(weights, X, y):
    predictions = np.dot(X, weights)
    errors = predictions - y
    return (1/len(y)) * np.dot(errors.T, errors)

# 目标函数的梯度
def gradient(weights, X, y):
    predictions = np.dot(X, weights)
    errors = predictions - y
    return (2/len(y)) * np.dot(X.T, errors)

接下来，我们使用黄金分割法来寻找最佳的学习率。黄金分割法是一种寻找一维函数最小值的方法，它基于黄金分割比例来缩小搜索区间。我们将目标函数对学习率求导，然后使用黄金分割法找到导数为零时的学习率：

# 黄金分割法寻找最佳学习率
def golden_section_search(objective, gradient, alpha_low, alpha_high, tol=1e-5):
    # 定义黄金分割比例
    ratio = (np.sqrt(5) - 1) / 2
    
    # 初始化变量
    alpha1 = alpha_high - ratio * (alpha_high - alpha_low)
    alpha2 = alpha_low + ratio * (alpha_high - alpha_low)
    f1 = gradient(alpha1)
    f2 = gradient(alpha2)
    
    # 迭代寻找最佳学习率
    while (alpha_high - alpha_low) > tol:
        if f1 > f2:
            alpha_low = alpha1
            alpha1 = alpha2
            f1 = f2
            alpha2 = alpha_low + ratio * (alpha_high - alpha_low)
            f2 = gradient(alpha2)
        else:
            alpha_high = alpha2
            alpha2 = alpha1
            f2 = f1
            alpha1 = alpha_high - ratio * (alpha_high - alpha_low)
            f1 = gradient(alpha1)
    
    return (alpha_low + alpha_high) / 2

现在我们可以定义梯度下降法的迭代过程，并使用黄金分割法找到的学习率来更新权重：

# 梯度下降法
def gradient_descent(X, y, initial_weights, max_iterations, tolerance):
    weights = initial_weights
    for _ in range(max_iterations):
        grad = gradient(weights, X, y)
        alpha = golden_section_search(lambda alpha: objective_function(weights - alpha * grad, X, y), 
                                      lambda alpha: -gradient(weights - alpha * grad, X, y), 
                                      0, 1)
        if np.linalg.norm(grad) < tolerance:
            break
        weights = weights - alpha * grad
    return weights

# 示例数据
X = np.array([[1, 2], [3, 4], [5, 6], [7, 8]])
y = np.array([1, 2, 3, 4])

# 初始权重
initial_weights = np.zeros(X.shape[1])

# 执行梯度下降法
optimal_weights = gradient_descent(X, y, initial_weights, max_iterations=1000, tolerance=1e-5)

print(

参考资源链接：[Python实现梯度下降法：多维无约束极值优化与可视化](https://wenku.csdn.net/doc/645307f3ea0840391e76c6ce?spm=1055.2569.3001.10343)