Linux系统运用case语句，编写一段脚本，从键盘输入一数值N,计算从1+2+...+N的和，并输入结果，执行相关命令如下：

好的，以下是脚本的代码：

#!/bin/bash

echo "请输入一个正整数N："
read N

sum=0

case $N in
    ''|*[!0-9]*)  # 判断输入是否为空或者非数字
        echo "请输入一个正整数！"
        exit 1
        ;;
    *)  # 如果输入是一个数字，则进行计算
        for ((i=1; i<=N; i++))
        do
            ((sum+=i))
        done
        echo "1+2+...+$N的和为：$sum"
        ;;
esac

执行过程如下：

1. 首先，脚本会要求用户输入一个正整数N；
2. 接着，根据输入的N，使用case语句判断输入是否为空或者非数字，如果是，则输出错误信息并退出脚本，否则进行计算；
3. 计算1+2+...+N的和，并输出结果。

注意：在此脚本中，我们使用了双括号(( ))来进行数值计算，这是Bash的高级特性，可以避免一些常规数学计算的繁琐。