构造一个海森矩阵不正定也不半正定的凸函数

考虑函数 $f(x,y) = x^4 - 2x^2 + y^2$，其海森矩阵为
$$
H = \begin{bmatrix}
12x^2 - 4 & 0 \\
0 & 2
\end{bmatrix}
$$
当 $x = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$ 时，$H$ 的特征值为 $8/3$ 和 $2$，其中一个为正数，一个为负数，因此 $f(x,y)$ 不正定也不半正定。然而 $f(x,y)$ 是凸函数，因为其海森矩阵的所有特征值都非负，即 $H$ 半正定。