q05 : (∃ x : A, true) → (∃ x: A, PP x → ∀ x : A,PP x) := lean语言怎么写证明

在Lean数学证明语言中，这个命题可以表示为：“如果存在某个A中的元素x使得真命题成立，那么对于A中的所有元素x，都有PP(x)蕴含对于所有的A中的x，PP(x)也成立。” Lean中的这种形式化表达通常涉及依赖类型（dependent type）和逻辑推理。

假设我们已经定义了集合A、谓词PP和逻辑连接符"→"（蕴含），我们可以按照这样的逻辑结构编写证明：

import data.set (set)
import tactic

lemma q05_proof (A : Type*) (PP : A → Prop) [nonempty A] :
  (∃ x, true) → (∀ x, PP x → ∀ y, PP y) :=
begin
  intro hExist,
  -- 使用ex_intro提取出存在x满足true的事实
  obtain ⟨x, hx⟩ := hExist,
  -- 推理步骤，这里假设PP x成立
  assume HPP_x,
  all_goals { intros y hy },
  -- 使用induction或cases对y进行归纳
  induction hy with y ih_y,
  -- 如果y已经被证明满足PP，则直接有PP y
  cases ih_y with HPP_y,
  -- 结合PP x和HPP_y，得出∀ y, PP y
  show PP y, by assumption,
end

在这个证明里，我们首先引入了一个非空集合A的假设，然后通过引入元组`⟨x, hx⟩`获取到了一个存在的x。接着，我们假设`PP x`，并通过归纳法证明`∀ y, PP y`。