从键盘输入一个角度，将其转换为弧度数x, 求sin(x)的值，要求误差小于0.0001. 计算公式如下: 其中： 即若取前m项的累加和作为sin(x)的近似值，则第m+1项的绝对值就是误差限。

在C++中，你可以使用标准库中的`cmath`头文件来进行弧度到角度和反正弦的转换，以及求和操作。为了保证误差不超过0.0001，我们可以使用泰勒级数展开（Taylor Series Expansion）来逼近正弦函数。对于小角度，正弦函数的泰勒级数可以简化为：

\[ \sin(x) ≈ x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \ldots \]

这是一个无限序列，但我们只需要取前几项来达到所需的精度。假设我们只保留m项，那么误差限将是序列中第m+1项的绝对值除以无穷大。由于我们知道误差限是0.0001，我们可以设置一个循环来找到满足条件的m值。

下面是一个示例代码：

#include <iostream>
#include <cmath>
#include <iomanip>

double sin_radians(double x, int m) {
    double sin_approx = x;
    double error_limit = 0.0001;
    double term = pow(x, 2 * m + 1) / factorial(2 * m + 1);

    while (term > error_limit) {
        sin_approx -= term;
        term *= -x / (2 * m + 1);
        m++;
    }

    return sin_approx;
}

int main() {
    double angle_in_degrees;
    cout << "请输入角度（单位：度）：" << std::endl;
    cin >> angle_in_degrees;
    double angle_in_radians = M_PI * angle_in_degrees / 180.0;

    int m = 0;
    double result = sin_radians(angle_in_radians, m);
    std::cout << "sin(" << angle_in_degrees << "°) ≈ " << std::setprecision(6) << result << std::endl;

    // 可能需要检查m是否合理，如果太大的话，说明角度太大以至于无法达到给定的精度
    if (m > 100) {
        std::cerr << "无法达到所要求的精度，可能需要更精确的角度转换或增加位数。\n";
    }

    return 0;
}

// 泰勒级数的阶乘函数
unsigned long long factorial(unsigned int n) {
    if (n == 0 || n == 1)
        return 1;
    else
        return n * factorial(n - 1);
}

在这个程序中，用户输入角度，然后计算转换后的弧度。接着，通过不断增加m直到满足误差限制，得到正弦值。如果m变得过大，表示无法达到给定的精度，会给出警告信息。