如何运用李雅普诺夫第一法对一个给定的线性系统进行稳定性判定？请结合矩阵正定性与特征值分析的详细步骤。

李雅普诺夫第一法是稳定性分析中的一种经典方法，尤其适用于线性系统。要判定线性系统的稳定性，我们需要构建系统的线性模型，并分析其特征值。在开始之前，建议先阅读《李雅普诺夫稳定性分析：从基本定理到线性化方法》，该资料对理解李雅普诺夫稳定性理论的基本定理和线性化方法提供了详尽的介绍。

参考资源链接：[李雅普诺夫稳定性分析：从基本定理到线性化方法](https://wenku.csdn.net/doc/7rt0e1ho5n?spm=1055.2569.3001.10343)

首先，我们需要将线性系统的动态方程写成标准形式：\u0394x = Ax，其中x是状态向量，A是系统矩阵。接下来，我们需要计算矩阵A的特征值。特征值可以通过求解特征方程|A - λI| = 0得到，其中I是单位矩阵，λ是特征值。

对于线性系统而言，如果矩阵A的所有特征值都具有负实部，则系统是渐近稳定的；如果特征值都位于复平面的左半平面，则系统也是稳定的。若矩阵A的所有特征值都具有非正实部，并且重根的代数重数和几何重数相等，则系统是李雅普诺夫稳定的；若存在任何具有正实部的特征值或重数不等的情况，系统就是不稳定的。

在判定系统稳定时，我们还需考虑矩阵A的正定性。如果矩阵A是正定的，即所有的特征值λ_i > 0，那么可以保证系统是渐近稳定的。矩阵的正定性可以通过多种方法判定，如顺序主子式法则、西尔维斯特法则等。

综上所述，结合特征值分析和矩阵正定性的判定，我们可以有效地利用李雅普诺夫第一法对线性系统进行稳定性分析。如果你希望更深入地学习李雅普诺夫稳定性理论，包括非线性系统分析，请继续参阅《李雅普诺夫稳定性分析：从基本定理到线性化方法》，其中包含了丰富的理论知识和实践案例。

参考资源链接：[李雅普诺夫稳定性分析：从基本定理到线性化方法](https://wenku.csdn.net/doc/7rt0e1ho5n?spm=1055.2569.3001.10343)