复变函数训练指导手册答案第一章a组答案
时间: 2023-08-04 14:01:06 浏览: 55
复变函数训练指导手册第一章A组的答案如下:
1. 设函数f(z)在区域D内解析,证明其实部Re(f(z))和虚部Im(f(z))都是D上的调和函数。
为了证明f(z)的实部和虚部都是调和函数,我们需要证明它们满足拉普拉斯方程,即对于f(z)的实部Re(f(z))和虚部Im(f(z)),它们的二阶偏导数存在且满足下面的方程:
∂^2U/∂x^2 + ∂^2U/∂y^2 = 0,
∂^2V/∂x^2 +∂^2V/∂y^2 = 0.
设f(z) = u(x, y) + iv(x, y),其中u(x, y)是f(z)的实部,v(x, y)是f(z)的虚部。
由复数理论的导数性质可知,对于复数函数f(z),如果它在区域D内解析,那么它的实部和虚部都满足柯西-黎曼方程:
∂u/∂x = ∂v/∂y,
∂u/∂y = -∂v/∂x.
对上面的柯西-黎曼方程同时对x和y求偏导数,可得:
∂^2u/∂x^2 + ∂^2u/∂y^2 = ∂^2v/∂y∂x - ∂^2v/∂x∂y,
∂^2v/∂x^2 + ∂^2v/∂y^2 = -∂^2u/∂y∂x + ∂^2u/∂x∂y.
由于f(z)在D内解析,根据柯西-黎曼方程,上面的方程可以简化为:
∂^2u/∂x^2 + ∂^2u/∂y^2 = 0,
∂^2v/∂x^2 +∂^2v/∂y^2 = 0.
这证明了f(z)的实部Re(f(z))和虚部Im(f(z))都是区域D上的调和函数。
因此,根据上述推导,可知复变函数训练指导手册第一章A组答案中的一部分内容涉及到了复变函数的调和性质及其证明。
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