递归最小二乘法基本原理

递归最小二乘法（Recursive Least Squares, RLS）是一种在线学习算法，用于处理时间序列数据中的动态系统模型估计问题。其基本原理是通过迭代的方式更新模型参数，每次只考虑一部分历史数据，而忽略已经过期的数据。RMS的主要特点有：

1. 状态空间更新：对于每个时间步t，算法维护当前模型参数的加权均值和方差估计，这些信息可以表示在一个状态向量中。

2. 滤波器形式：RLS通常采用滤波器的形式，将新的观测值和先前的残差一起使用来计算参数更新，这减少了对全部历史数据的需求。

3. 动态调整：随着新数据的加入，RLS会根据观测误差自适应地调整模型参数，使得预测更准确。

4. 算法效率高：尽管基于所有过去的信息，RLS通常比批量最小二乘法更快，因为它可以在每个时间步直接更新参数，不需要保存整个数据集。

相关问题

递归最小二乘法原理图

递归最小二乘法（Recursive Least Squares, RLS）是一种用于参数估计的递归算法。它主要用于在线系统辨识和自适应滤波等领域。下面是递归最小二乘法的原理图：

1. 输入信号：输入信号x(n)作为递归最小二乘法的输入，可以是一个向量或者多个输入信号的组合。

2. 系统模型：假设系统模型为y(n) = h^T(n)x(n) + e(n)，其中h(n)是待估计的参数向量，e(n)是噪声项。

3. 参数估计：递归最小二乘法通过不断更新参数向量h(n)来估计系统模型中的参数。初始时，参数向量h(0)可以设置为零向量或者根据先验知识进行初始化。

4. 预测输出：根据当前的参数估计h(n)，通过预测模型得到输出信号y_pred(n) = h^T(n)x(n)。

5. 计算误差：将预测输出信号与实际输出信号y(n)进行比较，计算误差e(n) = y(n) - y_pred(n)。

6. 更新参数：根据误差e(n)和输入信号x(n)，使用递归最小二乘法的更新规则来更新参数向量h(n)。更新规则可以通过最小化误差的平方和来得到。

7. 重复步骤4-6：不断重复步骤4-6，通过递归更新参数向量h(n)，实现对系统模型参数的在线估计。

QR分解递归最小二乘法（QR-RLS）的基本原理

根据提供的引用内容，QR分解递归最小二乘法（QR-RLS）是一种递推最小二乘法的方法。它的基本原理如下：

1. 首先，将待估计的参数向量表示为一个列向量，记作θ。
2. 将观测数据表示为一个矩阵X，其中每一行是一个观测样本的特征向量。
3. 将观测数据的目标值表示为一个列向量y。
4. 利用QR分解将矩阵X分解为一个正交矩阵Q和一个上三角矩阵R，即X = QR。
5. 将目标值向量y进行正交变换，得到新的目标值向量z = Q^T y。
6. 将参数向量θ进行正交变换，得到新的参数向量β = Q^T θ。
7. 利用递推最小二乘法的更新公式，不断更新参数向量β和观测数据的残差向量e = z - Xβ。
8. 将更新后的参数向量β进行逆正交变换，得到最终的参数向量θ = Qβ。

通过以上步骤，QR-RLS可以递归地估计出最优的参数向量θ，以最小化观测数据的残差。