请解释矩阵的特征值和特征向量的概念，并举例说明它们在矩阵论中的重要性。

矩阵的特征值和特征向量是矩阵论中的核心概念，它们在理解矩阵的性质和解决实际问题中扮演着重要角色。特征值是指对于非零向量v和方阵A，当存在标量λ使得Av = λv时，λ即为方阵A的一个特征值，而对应的非零向量v称为A的对应于特征值λ的特征向量。特征值和特征向量的概念不仅在理论研究中有着广泛的应用，也在工程技术和计算机科学等领域中起着至关重要的作用。

参考资源链接：[南京航空航天大学矩阵论试卷及答案汇总](https://wenku.csdn.net/doc/2b1feco0be?spm=1055.2569.3001.10343)

例如，在物理学的量子力学中，可观测量（例如位置、动量）的算符被表示为矩阵，而这些算符的特征值代表了测量结果的可能值，特征向量则代表了与这些测量值相对应的状态向量。在控制理论中，系统稳定性分析常通过计算状态矩阵的特征值来进行，特征值的实部决定了系统的动态特性（如稳定、不稳定或临界稳定）。

在计算机科学中，特别是在图像处理和数据压缩领域，特征值分解（EVD）和奇异值分解（SVD）等技术被广泛应用于降维、数据去噪和模式识别等任务中。例如，在PCA（主成分分析）算法中，数据矩阵的特征向量用于定义数据的最大方差方向，这些方向构成了数据的新坐标系。

《南京航空航天大学矩阵论试卷及答案汇总》这份资源包含了丰富的实践题和历年真题，通过它，学生和专业人士可以进行针对性的训练，掌握如何求解特征值和特征向量，并通过实际例题理解它们在矩阵论中的应用，如在系统稳定性分析、网络理论、数据分析等领域的应用，从而为学术研究或实际工作中的应用打下坚实的基础。

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