证明两个2D高斯函数的卷积仍为一个2D高斯函数

两个二维高斯函数的卷积确实仍然会是一个二维高斯函数，这是因为在数学上，高斯函数有着特定的线性和对称性质。高斯函数通常表示为：

\[ f(x, y) = \frac{1}{2\pi\sigma_x\sigma_y}e^{-\frac{(x^2/\sigma_x^2 + y^2/\sigma_y^2)}{2}} \]

其中，\( \sigma_x \) 和 \( \sigma_y \) 分别是函数沿 x 和 y 轴的标准差。

当两个这样的函数 \( f_1(x, y) \) 和 \( f_2(x, y) \) 卷积时，它们按照点积规则相乘，然后积分得到卷积结果 \( g(x, y) \)：

\[ g(x, y) = \iint_{-\infty}^{\infty} f_1(u, v) f_2(x - u, y - v) du dv \]

由于高斯函数是中心对称并且衰减非常快（即随着距离中心点越远，值快速下降），其卷积过程可以简化为两个函数的核心部分的直接乘积，加上一些常数因子的影响。这使得最终卷积的结果仍然是一个高斯分布，只是新的标准差 \( \sigma_{conv} \) 可以通过原两个高斯函数的标准差计算得出：

\[ \sigma_{conv} = \sqrt{\sigma_x^2 + \sigma_y^2} \]

因此，两个高斯函数的卷积依然保持了高斯形式，并且参数可以通过简单运算确定。