FMCW雷达中频信号公式

### FMCW 雷达中频信号公式推导

#### 发射与接收信号关系
在调频连续波(FMCW)雷达系统中，发射信号通常是一个线性调频信号。假设发射信号表示为：

\[ s_T(t)=A\cos(2πf_0t+πKt^2) \]

其中 \( A \) 是振幅, \( f_0 \) 表示载波频率而 \( K=\frac{\Delta f}{T_c} \) 则代表调制斜率。

当该信号遇到目标并返回时会有一个延迟时间 \( τ \)，因此接收到的回波可以写作:

\[ s_R(t)=B\cos(2πf_0(t-τ)+πK(t-τ)^2+\phi_0) \]

这里 \( B \) 和 \( φ_0 \) 分别对应于路径损耗后的幅度衰减因子以及初始相位偏移量[^1]。

#### 中频信号形成原理
通过混频器将上述两个信号混合起来可以获得所谓的“拍频”，即中频(IF)信号。此过程涉及到两者之间的相乘操作，并利用三角恒等变换简化最终结果。具体来说就是求取这两个信号之间的时间差所对应的瞬时频率差异作为新的输出成分之一；另一个成分为直流分量，在实际应用中往往被滤除掉只保留交流部分用于后续处理分析。

对于理想情况下的单个静止点目标而言，其产生的IF信号可近似认为具有固定不变的频率特性\( f_{IF}=|f_TX(t)-f_RX(t)|=K·τ\) ，这表明了中频信号的频率正比于目标距离引起的延时【此处应更正原文中的表述错误】。值得注意的是这里的绝对值符号是为了确保即使当观测者接近或远离物体时也能获得正值的结果来反映真实的物理意义[^2]。

#### 实际场景下考虑因素
考虑到多普勒效应的影响——如果目标不是完全静态而是存在径向运动，则除了因传播路径造成的固有延迟外还会引入额外的速度相关项到总相位变化之中去。此时完整的表达式变为：

\[ Δf=S_r\cdot d/c+v/λ \]

其中 \( S_r \) 为调制度（slope rate），\( v \)为目标相对于传感器的速度矢量沿视线方向上的投影长度，\( λ=c/f_0 \)是工作波长。这种情况下得到的IF信号不仅携带有关位置的信息同时也包含了速度属性的数据[^3]。

% MATLAB仿真代码片段展示如何模拟简单FMCW雷达系统的中频信号生成过程
fs = 1e6; % Sampling frequency
fc = 77e9; % Carrier frequency of the radar system
c = 3e8; % Speed of light in vacuum
tau = 2*range./c; % Time delay due to round trip travel time at given range 'range'
SlopeRate = 50e12;
timeVector = linspace(-0.001, 0.001, fs);
transmittedSignal = cos(2*pi*(fc*timeVector + SlopeRate/2 * timeVector.^2));
receivedSignal = transmittedSignal .* exp(-1i*2*pi*SlopeRate*tau); 
beatFrequency = abs(ifft(transmittedSignal.*conj(receivedSignal)));
plot(timeVector, beatFrequency), xlabel('Time(s)'), ylabel('|Beat Frequency|');
title('Simulated IF Signal Magnitude')