最小二乘法线性回归 adc

### 使用最小二乘法进行线性回归

对于ADC（模数转换器），其工作原理涉及将模拟信号转化为离散的数字信号。在这个过程中，可能会引入一些非理想因素，比如增益误差和偏移误差。为了校准这些误差并提高测量精度，可以通过收集一系列已知输入电压及其对应的数字化输出值来进行数据分析。

#### 数据准备阶段

假设已经获取了一组标准测试条件下的样本点 \((V_i, D_i)\)，其中 \(V_i\) 表示施加给 ADC 输入端的标准电压，而 \(D_i\) 则代表由该设备产生的相应码字读数。这里的目标就是找到一条直线能够最好地描述这种映射关系：

\[ D = a V + b \]

这里的系数\(a\)对应于系统的增益因子；常量项\(b\)则反映了任何存在的零位偏差或直流偏置[^1]。

#### 构建目标函数

根据定义，最小二乘准则旨在使所有观测到的数据点至拟合直线间的垂直距离平方总和达到极小值。具体来说，在本案例中就是要让下述表达式的取值尽可能的小：

\[
E(a,b)=\sum_{i=1}^{n}(D_i-(aV_i+b))^2
\]

此公式衡量的是实际测得的结果与理论预测之间的差异程度。当调整参数使得这个累积误差降到最低限度时，则认为找到了最优解集{\(a^*,b^*\)}[^2]。

#### 参数估计过程

要找出上述方程中的未知参量，可以采用解析几何里的正规方程途径来直接求导得出闭形式解答。对于简单的一维情况如下所示：

\[
\begin{cases}
& n\cdot a+\left(\sum V_i\right)b=\sum D_i \\
& (\sum V_i)a+(\sum {V_i}^2)b=\sum (V_iD_i)
\end{cases}
\]

这是一个关于两个变量的联立方程组，可通过矩阵运算快速求逆从而获得精确答案。当然也可以借助数值迭代算法逐步逼近真实根的位置[^3]。

import numpy as np

def least_squares_fit(V, D):
    """
    计算基于最小二乘法的最佳拟合直线 y=ax+b
    
    :param V: 测试电压列表
    :type V: list or array-like
    :param D: 对应的ADC输出码字列表
    :type D: list or array-like
    :return: 返回斜率a和截距b组成的元组
    :rtype: tuple(float,float)
    """

    # 将输入转换成numpy数组以便后续处理更加方便高效
    v_array=np.array(V,dtype=float).reshape(-1,)
    d_array=np.array(D,dtype=int)

    A_matrix = np.vstack([v_array,np.ones(len(v_array))]).T
    result_vector = d_array.reshape(-1,1)

    try:
        params = np.linalg.inv(A_matrix.T @ A_matrix)@A_matrix.T @result_vector
        return float(params[0]),float(params[1])
    except Exception as e:
        raise ValueError(f"Error occurred during calculation:{str(e)}")

# 示例调用方式
if __name__=="__main__":
    voltages=[0.5*i for i in range(8)]  # 假设我们有八个不同的电压水平作为输入
    adc_outputs=[int(x*97+np.random.normal())for x in voltages]   # 模拟带有噪声的真实世界响应
    slope,intercept=least_squares_fit(voltages,adc_outputs)
    print(f"Slope={slope:.4f}, Intercept={intercept:.4f}")