分别使用矩形法， 梯形法， 抛物线法， 变步长梯形法法， 变步长辛普森法计算 \int _{0}^{1}(x^{2}+ \cos x)dx \int _{1}^{ \frac { \pi }{2}}(3x^{5}+e^{x}+ \log (x+1))dx代码

在Python中，我们可以使用`scipy.integrate`模块中的数值积分函数来实现这些方法。以下是分别使用矩形法、梯形法、变步长梯形法（Simpson's 1/3规则）、以及变步长辛普森法则（Simpson's 3/8规则）计算给定积分的示例代码：

from scipy.integrate import quad, simps, romb

# 定义被积函数
def integrand(x):
    integral1 = x**2 + cos(x)
    integral2 = lambda x: 3*x**5 + exp(x) + log(x + 1)

    return integral1 if x <= 1 else integral2(x)

# 矩形法（直接求和）
rectangular_integral1 = sum(integrand(xi) * dx for xi, dx in zip([0] + [i / 100 for i in range(1, 100)], [0.01] * 99))
print(f"矩形法: {rectangular_integral1}")

# 梯形法
trapezoidal_integral1 = quad(integrand, 0, 1, epsabs=1e-6)[0]
print(f"梯形法: {trapezoidal_integral1}")

# 变步长梯形法（Simpson's 1/3规则）
simpson_integral1 = simps(integrand, [i / 100 for i in range(1, 100)])
print(f"Simpson's 1/3规则: {simpson_integral1}")

# 变步长辛普森法则（Simpson's 3/8规则）
romberg_integral1 = romb(integrand, n=100, show=False)  # 注意这个函数可能会很慢，因为它使用了Romberg公式
print(f"Romberg方法 (3/8规则): {romberg_integral1}")

# 第二个积分
integral2 = quad(integrand, 1, pi / 2, epsabs=1e-6)[0]
print(f"积分区间 [1, π/2]: {integral2}")

注意：这些代码示例假设每个积分区域均匀划分成了100份，实际应用中可以根据需要调整步长。