PINN ipynb

### PINN 物理信息神经网络 Jupyter Notebook 示例

PINN（Physics-Informed Neural Networks）是一种能够将物理定律嵌入到机器学习模型中的技术，特别适用于求解偏微分方程(PDE)[^1]。下面展示了一个简单的PINN实现案例，该案例使用Python编写，并利用PyTorch框架完成。

#### 谐振子问题的PINN解决方案

为了更好地理解如何构建和训练一个PINN，在此提供一段针对一维线性谐振子系统的代码片段作为实例：

import torch
from torch import nn, optim
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt


class HarmonicOscillator(nn.Module):
    def __init__(self):
        super(HarmonicOscillator, self).__init__()
        self.fc = nn.Sequential(
            nn.Linear(1, 20),
            nn.Tanh(),
            nn.Linear(20, 20),
            nn.Tanh(),
            nn.Linear(20, 1)
        )

    def forward(self, t):
        u = self.fc(t)
        return u
    
def compute_loss(model, k=1., m=1.):
    model.train()
    
    optimizer.zero_grad()

    # 定义时间区间内的采样点数
    Nt = 50
    ts = torch.linspace(-torch.pi/2, torch.pi/2, steps=Nt).reshape((-1, 1))
    
    us = model(ts)

    # 计算导数 dudt 和 d2udt2 使用自动微分工具 autograd.grad
    du_dt = torch.autograd.grad(us.sum(), ts, create_graph=True)[0]
    d2u_dt2 = torch.autograd.grad(du_dt.sum(), ts, create_graph=True)[0]

    # 构建损失函数 L = (m*d2u/dt2 + k*u)^2 的均值
    loss = ((m * d2u_dt2 + k * us)**2).mean()

    loss.backward()
    optimizer.step()

    return float(loss)


if __name__ == '__main__':
    epochs = 2000
    learning_rate = 0.01
    net = HarmonicOscillator().double()  # 创建模型对象
    optimizer = optim.Adam(net.parameters(), lr=learning_rate)

    losses = []
    for epoch in range(epochs):
        l = compute_loss(net)
        if epoch % 100 == 99:
            print(f'Epoch {epoch}, Loss: {l:.8f}')
        losses.append(l)

    with torch.no_grad():
        test_ts = torch.linspace(-np.pi / 2, np.pi / 2, 100).view(-1, 1)
        pred_us = net(test_ts).numpy()

    fig, ax = plt.subplots(figsize=(7, 4))
    ax.plot(test_ts.numpy(), pred_us, label='Predicted')
    exact_solution = lambda t: np.cos(t)  # 此处假设k=m=ω²=1的情况下的解析解cos(t)
    ax.plot(test_ts.numpy(), exact_solution(test_ts), '--', c='red', lw=3, alpha=.6, label='Exact Solution')
    ax.legend(loc="best")
    plt.show()

上述代码展示了怎样定义一个用于模拟简单谐振子运动规律的PINN结构，并对其进行参数优化的过程[^3]。通过这种方式可以得到近似于真实情况的结果曲线图。