7-28 八皇后问题

八皇后问题是一个经典的问题，旨在找到一种方法，在一个8x8的棋盘上放置8个皇后，使得它们互相之间不会互相攻击。每个皇后可以水平、垂直或对角线移动。解决这个问题的一种方法是使用回溯算法。

回溯算法是一种逐步构建解决方案的算法，当遇到不合适的情况时，会回溯到上一步并尝试其他可能的选项。在八皇后问题中，我们从第一行开始，选择一个列来放置皇后。然后，我们移动到下一行，并在不与前面的皇后互相攻击的列中放置下一个皇后。如果没有合适的列可供选择，则回溯到上一行，并尝试其他列。

通过递归调用回溯算法，我们可以尝试所有可能的组合，直到找到满足条件的解决方案或尝试完所有可能性。你可以使用编程语言如Python来实现这个算法，并通过输出来显示所有解决方案。希望这能帮助你理解八皇后问题的解决方法！

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7-28 八皇后问题(*)

八皇后问题是一个经典的、以棋盘为背景的问题。在一个8x8的棋盘上，摆放8个皇后，使得任意两个皇后之间都不能互相攻击，即不能在同一行、同一列或者同一对角线上。

解决这个问题可以通过回溯算法来实现。具体步骤如下：

1. 从第一行开始，依次考虑每一个皇后的放置位置。
2. 对于当前行，尝试将皇后放置在每一个位置上，并检查是否与之前的皇后产生冲突。
- 如果产生冲突，则尝试下一个位置。
- 如果不产生冲突，则继续到下一行放置下一个皇后。
3. 如果已经放置了8个皇后，则找到一组解。
4. 如果所有的位置都尝试过了，仍然没有找到解，则回溯到上一行，重新选择放置位置。

这样逐步尝试不同的位置，直到找到所有合法的解或者尝试完所有可能的组合。

需要注意的是，八皇后问题有多个解，所以可以找到其中一个解之后，还可以继续寻找其他解。

用JAVA语言写概率算法求解八皇后问题。要求如下步骤:1.有算法思路，2.代码思路，3.伪代码 ，4.代码实现。

1. 算法思路：

八皇后问题是一个经典的回溯问题，我们可以使用概率算法来优化回溯过程。具体思路如下：

1. 初始化一个八元素的数组，用于表示每个皇后所在的列位置。

2. 从第一行开始，随机选择一个列位置，将第一个皇后放在该位置。

3. 对于第二行，计算出每个列位置的冲突数（即与前面的皇后所在列位置相同或在同一对角线上的皇后数量），然后计算每个列位置的概率值。

4. 根据概率值随机选择一个列位置，将第二个皇后放在该位置。

5. 重复第三步和第四步，直到所有皇后都被放置。

6. 如果出现了死局（即回溯到了第一行），则重新从第一行开始执行。

7. 执行若干次后，找到冲突数最小的棋盘状态，即为八皇后问题的解。

2. 代码思路：

1. 定义一个长度为8的数组 queens，用于记录每个皇后所在的列位置。

2. 定义一个 solve 方法，用于求解八皇后问题。

3. 在 solve 方法中，使用一个 while 循环不断重复执行以下步骤：

a. 对于每一行，计算每个列位置的冲突数和概率值。

b. 根据概率值随机选择一个列位置，将皇后放在该位置。

c. 如果出现了死局，则将 queens 数组重新初始化，并从第一行开始执行。

d. 如果所有皇后都被放置，则计算冲突数并更新最小值。

4. 在 main 方法中，执行若干次 solve 方法，找到冲突数最小的棋盘状态。

3. 伪代码：

function solve():
    queens = new int[8]
    min_conflicts = 8
    
    while min_conflicts != 0:
        conflicts = 0
        
        for i from 0 to 7:
            probs = new double[8]
            
            for j from 0 to 7:
                queens[i] = j
                probs[j] = calculate_probability(i, queens)
            
            j = choose_random_column(probs)
            queens[i] = j
            conflicts += calculate_conflicts(i, queens)
            
            if conflicts == 28:
                break
        
        if conflicts == 28:
            queens = new int[8]
            min_conflicts = 8
            continue
        
        if conflicts < min_conflicts:
            min_conflicts = conflicts
    
    return queens

4. 代码实现：

import java.util.Arrays;
import java.util.Random;

public class EightQueens {
    private static final int N = 8;

    public static void main(String[] args) {
        int minConflicts = N;
        int[] minQueens = new int[N];
        Random random = new Random();

        for (int i = 0; i < 1000; i++) {
            int[] queens = new int[N];
            int conflicts = N;

            while (conflicts > 0) {
                conflicts = 0;

                for (int j = 0; j < N; j++) {
                    double[] probs = new double[N];

                    for (int k = 0; k < N; k++) {
                        queens[j] = k;
                        probs[k] = calculateProbability(j, queens);
                    }

                    int col = chooseRandomColumn(probs, random);
                    queens[j] = col;
                    conflicts += calculateConflicts(j, queens);

                    if (conflicts == N * (N - 1) / 2) {
                        break;
                    }
                }

                if (conflicts == N * (N - 1) / 2) {
                    queens = new int[N];
                    conflicts = N;
                    continue;
                }
            }

            if (conflicts < minConflicts) {
                minConflicts = conflicts;
                minQueens = queens;
            }
        }

        System.out.println("Minimum conflicts: " + minConflicts);
        System.out.println("Solution: " + Arrays.toString(minQueens));
    }

    private static double calculateProbability(int row, int[] queens) {
        double prob = 0;

        for (int i = 0; i < N; i++) {
            if (i == queens[row]) {
                continue;
            }

            int conflicts = 0;

            for (int j = 0; j < row; j++) {
                if (queens[j] == i || queens[j] - j == i - row || queens[j] + j == i + row) {
                    conflicts++;
                }
            }

            prob += Math.pow(2.0, -conflicts);
        }

        return prob;
    }

    private static int chooseRandomColumn(double[] probs, Random random) {
        double sum = 0;

        for (double prob : probs) {
            sum += prob;
        }

        double r = random.nextDouble() * sum;
        sum = 0;

        for (int i = 0; i < probs.length; i++) {
            sum += probs[i];

            if (sum > r) {
                return i;
            }
        }

        return probs.length - 1;
    }

    private static int calculateConflicts(int row, int[] queens) {
        int conflicts = 0;

        for (int i = 0; i < row; i++) {
            if (queens[i] == queens[row] || queens[i] - i == queens[row] - row || queens[i] + i == queens[row] + row) {
                conflicts++;
            }
        }

        return conflicts;
    }
}