三角形脉冲傅里叶变换推导

三角波脉冲函数的傅里叶变换（Fourier Transform, FT）是一种将离散时间信号转换成频域表示的重要数学工具。对于一个简单的三角波信号，比如周期为\( T \)的单位三角波 \( u(t) = \frac{2}{T} \cdot |t| \), 其傅里叶变换可以通过直接应用傅里叶变换公式来求解：

\[
U(f) = \mathcal{F}\{u(t)\} = \int_{-\infty}^{\infty} u(t) e^{-j2\pi ft} dt
\]

由于单位三角波是非平滑的，在0到\( T \)区间上是一条直线，而在其他区间则是零，我们可以分段处理这个积分。

当\( -\frac{T}{2} < t < \frac{T}{2} \)，即在一个完整的周期内，\( u(t) \) 的值为1，所以：
\[
U(f) = \frac{2}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} |t| e^{-j2\pi ft} dt
\]
对绝对值函数分解成两部分：
\[
U(f) = \frac{4}{T} \left[ \int_{0}^{\frac{T}{2}} t e^{-j2\pi ft} dt - \int_{-\frac{T}{2}}^{0} (-t) e^{-j2\pi ft} dt \right]
\]
这两个积分可以分别计算，因为它们是对称的。

计算每个积分并代入得到：
\[
U(f) = \frac{4}{T} \left[ \left(\frac{-1}{j2\pi f} e^{-j2\pi f\frac{T}{2}} - \frac{j2\pi f}{(j2\pi f)^2+1}e^{-j2\pi f\frac{T}{2}}\right) - \left(-\frac{1}{j2\pi f} e^{j2\pi f\frac{T}{2}} + \frac{j2\pi f}{(j2\pi f)^2+1}e^{j2\pi f\frac{T}{2}}\right)\right]
\]

简化后我们得到：
\[
U(f) = \frac{8}{T} \cdot \frac{1}{(j2\pi f)^2+1}
\]

这表明，单位三角波的傅里叶变换是一个包含两个洛伦兹分布（Lorentzian functions）的组合，每个分布在频率轴上对应正负半周。