schauder不动点定理
时间: 2023-12-05 14:06:35 浏览: 51
Schauder不动点定理是巴拿赫空间理论中的一个重要定理。它指出,每个巴拿赫空间中的连续映射都至少有一个不动点。这个定理在数学、物理、经济学等领域都有广泛的应用。
巴拿赫空间是一种完备的赋范向量空间,它满足巴拿赫-斯坦豪斯定理,即每个巴拿赫空间都是自反的。Schauder不动点定理是基于这个定理的推论。
具体来说,Schauder不动点定理指出,对于一个巴拿赫空间X中的任意一个凸紧子集K,如果存在一个从K到自身的连续映射T,那么T至少有一个不动点,即存在一个x∈K,使得Tx=x。
这个定理在实际应用中非常有用。例如,在经济学中,可以用它来证明存在一个均衡价格,使得市场供求达到平衡。在物理学中,可以用它来证明存在一个稳定状态,使得物理系统达到平衡。
下面是一个使用Schauder不动点定理证明存在一个均衡价格的例子:
假设有n个买家和n个卖家,他们分别对某种商品的价格有各自的期望值。我们可以将买家和卖家的期望价格分别表示为向量b和s,其中b和s都是n维向量。我们可以将所有的买家和卖家组成一个巴拿赫空间X,其中每个元素都是一个n维向量。
现在假设存在一个从X到自身的连续映射T,使得T(b,s)=(b',s'),其中b'和s'分别是新的买家和卖家的期望价格向量。根据Schauder不动点定理,T至少有一个不动点,即存在一个(b*,s*)∈X,使得T(b*,s*)=(b*,s*)。这个不动点就是市场均衡价格,即买家和卖家都认为这个价格是合理的。
相关推荐
![pdf](https://img-home.csdnimg.cn/images/20210720083512.png)
![pdf](https://img-home.csdnimg.cn/images/20210720083512.png)
![pdf](https://img-home.csdnimg.cn/images/20210720083512.png)
![pdf](https://img-home.csdnimg.cn/images/20210720083512.png)
![docx](https://img-home.csdnimg.cn/images/20210720083331.png)
![zip](https://img-home.csdnimg.cn/images/20210720083736.png)
![zip](https://img-home.csdnimg.cn/images/20210720083736.png)
![zip](https://img-home.csdnimg.cn/images/20210720083736.png)
![pdf](https://img-home.csdnimg.cn/images/20210720083512.png)
![zip](https://img-home.csdnimg.cn/images/20210720083736.png)
![zip](https://img-home.csdnimg.cn/images/20210720083736.png)
![zip](https://img-home.csdnimg.cn/images/20210720083736.png)