满秩矩阵的LR分解matlab

### 关于满秩矩阵的LR分解在Matlab中的实现

对于满秩矩阵 \( A \)，其 LR 分解是指将矩阵 \( A \) 表达为下三角矩阵 \( L \) 和上三角矩阵 \( R \) 的乘积，即 \( A = LR \)[^1]。

#### 使用MATLAB内置函数`lu`

MATLAB 提供了一个非常方便的内置函数 `lu` 来执行 LU 分解。此函数可以处理各种类型的输入矩阵，并返回相应的L和U因子以及置换向量p使得\( PA=LU \)成立。这里P是一个排列矩阵。

% 假设A是我们要进行LR分解的满秩矩阵
[L, U, P] = lu(A);
disp('Lower triangular matrix (L):');
disp(L);
disp('Upper triangular matrix (U):');
disp(U);
disp('Permutation matrix (P):');
disp(P);

需要注意的是，在某些情况下为了数值稳定性会引入行交换操作，因此实际得到的结果可能是PA等于LU的形式而不是直接的A等于LR形式。

如果严格要求不带行变换的标准LR分解，则可以通过设置参数来尝试获得更接近标准定义的结果：

[L,U] = lu(A,'vector'); % 返回一个矢量而非完整的置换矩阵

然而应当指出的是，当涉及到具体应用时（比如求解线性方程组），通常推荐使用带有部分选主元策略的部分高斯消去法所对应的PLU分解版本，因为它能提供更好的数值稳定性和准确性。