请详细解释如何应用拉普拉斯变换来求解一个线性时不变系统的零输入响应，并给出计算步骤和实例。

应用拉普拉斯变换求解线性时不变系统的零输入响应是信号与系统分析中的一个重要环节。在开始之前，强烈建议你参考《***》这份资料，它提供了信号与系统课后答案.pdf，其中包含了相关的理论基础和解题步骤，有助于你更深刻地理解这一过程。

参考资源链接：[信号与系统课后答案.pdf](https://wenku.csdn.net/doc/644b7e88fcc5391368e5eebe?spm=1055.2569.3001.10343)

首先，需要了解零输入响应是指系统初始状态不为零而无外部输入时系统的响应。线性时不变系统的微分方程可以使用拉普拉斯变换转换为代数方程，从而求解系统的零输入响应。以下是求解步骤：

1. 假设系统初始状态为\( x(0^+) = x_0, \dot{x}(0^+) = \dot{x}_0, ... \)，写出系统的微分方程。
2. 应用拉普拉斯变换将时间域的微分方程转换为s域的代数方程。
3. 利用拉普拉斯变换的性质和公式，将初始条件转换为代数方程中的常数项。
4. 解代数方程，求得系统在拉普拉斯域的响应\( X(s) \)。
5. 对\( X(s) \)应用拉普拉斯逆变换，求得零输入响应\( x(t) \)。

比如，对于一个具有初始条件的一阶线性时不变系统，其微分方程可以表示为\( \dot{x}(t) + ax(t) = 0 \)，初始条件为\( x(0^+) = x_0 \)。应用拉普拉斯变换后，我们得到\( sX(s) - x_0 + aX(s) = 0 \)。解得\( X(s) = \frac{x_0}{s + a} \)，然后通过拉普拉斯逆变换得到零输入响应\( x(t) = x_0e^{-at}u(t) \)，其中\( u(t) \)是单位阶跃函数。

为了更深入地掌握这一过程，建议详细阅读《***》中提供的信号与系统课后答案.pdf，它包含了相关的示例和详细解答，有助于你理解并掌握如何运用拉普拉斯变换解决实际问题。

参考资源链接：[信号与系统课后答案.pdf](https://wenku.csdn.net/doc/644b7e88fcc5391368e5eebe?spm=1055.2569.3001.10343)