普利姆和克鲁斯卡尔时间复杂度

普利姆（Prim's Algorithm）和克鲁斯卡尔（Kruskal's Algorithm）都是用于求解图的最小生成树的经典算法。

**普利姆算法**：
也称为Prim's First Fit算法，其基本思想是从无向连通图的一个顶点开始，每次添加一条连接当前生成树中已知节点与未加入节点的最短边，直到所有节点都被包含。这个过程保证了找到的路径总是形成一棵树，并且是最小的生成树。时间复杂度通常为O(E log V)，其中E是边的数量，V是顶点的数量。这是因为每轮操作需要查找一次最近的未连接顶点，这一步涉及排序。

**克鲁斯卡尔算法**：
又称为Kruskal's Algorithm，它首先对所有边按照权重从小到大排序，然后依次加入最短边，只要这条边不会形成环即可。同样，最终形成的也是最小生成树。时间复杂度也为O(E log E)，但由于边的排序步骤，如果E远大于V，则相对于Prim's Algorithm，它的效率可能会稍低。

**时间复杂度总结**：
- Prim's Algorithm：当边的数量接近顶点数量的平方根时，优势明显，因为搜索最近的边的时间复杂度较低。
- Kruskal's Algorithm：更适合于边的数量远大于顶点数量的情况，因为它避免了对每个顶点进行搜索。

相关问题

普利姆和克鲁斯卡尔算法

普利姆算法和克鲁斯卡尔算法都是用于解决最小生成树问题的算法。

普利姆算法的基本思想是从一个点开始，每次选择与当前生成树相邻的最小权值边所连接的点加入生成树中，直到所有的点都被加入生成树为止。该算法的时间复杂度为O(n^2)。

克鲁斯卡尔算法的基本思想是将所有边按照权值从小到大排序，然后依次加入生成树中，如果加入该边会形成环，则不加入该边，直到生成树中有n-1条边为止。该算法的时间复杂度为O(eloge)。

普利姆算法和克鲁斯卡尔算法

### 普里姆算法与克鲁斯卡尔算法对比

#### 算法原理差异
普里姆算法的核心在于每一步都形成一棵树。这意味着在整个执行过程中，所选边总是会将新的顶点加入到现有的单棵树结构中[^1]。与此不同的是，克鲁斯卡尔算法在处理图的过程中可能会暂时创建多棵独立的小树（即森林），直到最终这些小树通过合适的边相互连接成为完整的最小生成树。

#### 数据结构需求
对于普里姆算法而言，通常采用优先队列来高效选取下一个要添加至当前树中的节点；而对于克鲁斯卡尔算法，则更倾向于利用并查集数据结构来进行高效的连通性检测以及循环预防操作。

#### 时间复杂度分析
两种算法的时间性能取决于具体实现方式及其适用条件。当面对稠密图时，由于每次迭代都需要更新大量候选边的信息，因此基于斐波那契堆优化后的普里姆算法能够展现出较好的效率表现。然而，在稀疏图场景下，如果可以预先对所有边按权重排序的话，那么克鲁斯卡尔算法则能凭借其简单的贪心策略获得更快的速度优势。

#### 应用场景举例
- **网络设计问题**：假设某公司计划铺设光纤通信线路覆盖全国主要城市，并希望总成本最低。此时可考虑使用普里姆算法从任一选定起点出发逐步扩展最优路径直至遍历全部目标地点。

- **电路板布线规划**：电子设备内部PCB布局往往涉及众多元件间的电气连接关系。为了确保信号传输质量同时减少材料消耗，工程师们可以选择应用克鲁斯卡尔算法寻找全局范围内代价最少的一组导线配置方案。

def prim_mst(graph):
    import heapq
    
    mst = []
    visited = set()
    
    start_vertex = list(graph.keys())[0]
    edges = [(weight, start_vertex, neighbor) for neighbor, weight in graph[start_vertex].items()]
    heapq.heapify(edges)

    while edges:
        weight, u, v = heapq.heappop(edges)
        
        if v not in visited:
            visited.add(v)
            mst.append((u, v, weight))
            
            for next_node, w in graph[v].items():
                if next_node not in visited:
                    heapq.heappush(edges, (w, v, next_node))

    return mst


def kruskal_mst(edges, num_vertices):
    parent = {i: i for i in range(num_vertices)}
    rank = dict.fromkeys(range(num_vertices), 0)
    result = []

    def find(node):
        if parent[node] != node:
            parent[node] = find(parent[node])
        return parent[node]

    def union(x, y):
        rootX = find(x)
        rootY = find(y)
        if rootX != rootY:
            if rank[rootX] > rank[rootY]:
                parent[rootY] = rootX
            elif rank[rootX] < rank[rootY]:
                parent[rootX] = rootY
            else:
                parent[rootY] = rootX
                rank[rootX] += 1
                
    sorted_edges = sorted(edges, key=lambda item:item[2])

    for edge in sorted_edges:
        u, v, weight = edge
        
        if find(u) != find(v):
            result.append(edge)
            union(u,v)

    return result