④编写算法,求一-元多项式P(x)-(+a+x2+a++-+a,a"的值P.(2o) ,并确定算法中每一语句的执行次数和整个算法的时间复杂度,要求时间复杂度尽可能小算法中不能使用求幂函数。注意:本题中的输人为 a{(i=0,1,., n)、x和n,输出为P,(xo)。c语言

为了计算一元多项式P(x) = a_0 + a_1*x + a_2*x^2 + ... + a_n*x^n在x=20时的值P(20)，并且要求算法的时间复杂度尽可能小，同时不使用求幂函数，我们可以采用霍纳法则（Horner's rule）。霍纳法则是一种高效的算法，用于计算多项式在给定点的值。它通过减少乘法的次数来降低计算复杂度。

霍纳法则的算法过程如下：

1. 初始化变量result为a_n。
2. 对于i从n-1到0，执行以下步骤：
a. result = result * x + a_i。

这个算法的执行次数如下：
- 乘法操作进行了n次。
- 加法操作进行了n次。
- 每次乘法和加法操作都是常数时间操作。

因此，整个算法的时间复杂度为O(n)，其中n是多项式的阶数。

下面是C语言实现的示例代码：

#include <stdio.h>

// 计算多项式P(x)在x点的值
double calculatePolynomial(int a[], int n, double x) {
    double result = a[n]; // a_n是最后一项，直接赋值给result
    for (int i = n - 1; i >= 0; i--) {
        result = result * x + a[i]; // 霍纳法则
    }
    return result;
}

int main() {
    // 假设已经给出了多项式的系数a[]
    int coefficients[] = {a0, a1, a2, ..., an}; // 请替换为实际的系数值
    int n = sizeof(coefficients)/sizeof(coefficients[0]) - 1; // 获取多项式的阶数
    double x = 20.0; // 给定点x的值
    double value = calculatePolynomial(coefficients, n, x); // 计算多项式值
    printf("P(20) = %f\n", value);
    return 0;
}

在这个代码中，`a[]`数组存储了多项式的系数，注意数组的第一个元素`a[0]`是最高次项的系数。`n`是多项式的最高次数，因此数组的长度应该是`n+1`。