matlab 解偏微分方程

### 使用 MATLAB 求解偏微分方程

#### 利用 `pdepe` 函数求解一维偏微分方程
对于特定的一维偏微分方程，可以采用内置函数 `pdepe` 来解决。此方法适用于抛物线型和椭圆型 PDE 的初边值问题[^1]。

下面是一个简单的例子来展示如何利用 `pdepe` 解决热传导方程：

function pdex1
m = 0;
x = linspace(0,1,20);
t = linspace(0,2*pi,sqrt(length(x)));
sol = pdepe(m,@pdex1pde,@pdex1ic,@pdex1bc,x,t);

% Extract the first solution component as u.
u = sol(:,:,1);

% A surface plot is often a good way to study a solution.
surf(x,t,u)
title('Numerical Solution of PDEx1')
xlabel('Distance x')
ylabel('Time t')

% --------------------------------------------------------------
function [c,f,s] = pdex1pde(x,t,u,DuDx)
c = pi^2;
f = DuDx;
s = 0;

% --------------------------------------------------------------
function u0 = pdex1ic(x)
u0 = sin(pi*x);

% --------------------------------------------------------------
function [pl,ql,pr,qr] = pdex1bc(xl,ul,xr,ur,t)
pl = ul;
ql = 0;
pr = pi * exp(-t);
qr = 1;

这段代码定义了一个描述温度随时间和空间变化的模型，并通过图形化方式展示了数值解的结果。

#### 使用 PDE 工具箱中的 `pdetool`
除了编程接口外，MATLAB 还提供了一个交互式的 GUI 应用程序——PDE Toolbox (`pdetool`)，它允许用户绘制几何形状、设置边界条件以及指定系数等操作，从而简化复杂区域上的二维偏微分方程组的建模过程。

启动该工具可以通过命令窗口输入 `pdetool` 或者从应用程序库中找到对应的图标点击打开。一旦完成参数配置并运行仿真之后，还可以导出生成的数据到工作区进一步分析处理。