在一棵空的二叉排序树中插入关键字序列为12，7，17，11，16，2，13，9，21，4请画出所得到的avl树

### 回答1：
首先，我们按照题目给出的关键字序列依次插入到空的二叉排序树中，得到如下的树：

       12
      /  \
     7    17
    /      \
   2       21
    \      
     4     
      \
       11
       / \
      9  16
         /
        13

然后，我们需要对这棵树进行平衡操作，使其成为 AVL 树。

第一步，从最底层开始，计算每个节点的平衡因子：

       0
      /  \
    -1    1
    /      \
  -2        1
    \         
    -1       
      \      
       0    
       / \
     -1   0  
         /
       -1

第二步，从最底层开始，对每个平衡因子不为 0 的节点进行旋转操作。

对于平衡因子为 -2 的节点 4，我们对它进行右旋操作，得到：

       12
      /  \
     7    17
    /      \
   2       21
    \      
     11     
    / \    
   4  16  
  /   /    
 2   13    
    /     
   9    

此时，树的平衡因子为：

       0
      /  \
     0    1
    /      \
   0        1
            /   
           -1  

对于平衡因子为 -1 的节点 13，我们对它进行左旋操作，得到：

       12
      /  \
     7    17
    /      \
   2       21
    \      
     11     
    / \    
   4  16  
  /   /    
 2   9    
    / \
   13  15  

此时，树的平衡因子为：

       1
      /  \
     0    1
    /      \
   0        0
          /   \ 
         0    -1

对于平衡因子为 1 的节点 17，我们对它进行左旋操作，得到：

       12
      /  \
     7    16
    /    /  \
   2    13  17
    \         \
     11       21
    / \      
   4  9     
  /   / \     
 2   8  15    

此时，树的平衡因子为：

       0
      /  \
     0    0
    /      \
   0       -1
          /  \
         0   -1

最终，我们得到了一棵 AVL 树，如下图所示：

       12
      /  \
     7    16
    /    /  \
   2    13  17
    \         \
     11       21
    / \      
   4  9     
  /   / \     
 2   8  15    

### 回答2：
在空的二叉排序树中插入关键字序列为12，7，17，11，16，2，13，9，21，4可以按照以下步骤画出对应的AVL树：

1. 首先，将根节点设置为12。
12

2. 插入7，因为7小于12，所以插入为根节点的左子节点：
12
/
7

3. 插入17，因为17大于12，所以插入为根节点的右子节点：
12
/ \
7 17

4. 插入11，因为11小于12，所以将其插入根节点的左子树。发现此时左子树的平衡因子为2，需要进行旋转操作。
首先，对以7为根节点的子树进行右旋转：
12
/ \
11 17
/
7

然后，对以12为根节点的子树进行左旋转：
11
/ \
7 12
\
17

5. 插入16，因为16大于11，所以将其插入根节点的右子树。发现此时根节点的左子树高度为3，右子树高度为2，需要进行旋转操作。
首先，对以12为根节点的子树进行左旋转：
11
/ \
7 16
/ \
12 17

然后，对以11为根节点的子树进行右旋转：
16
/ \
11 17
/ \
7 12

6. 插入2，因为2小于16，所以将其插入根节点的左子树。此时左子树的高度为3，右子树的高度为1，需要进行旋转操作。
首先，对以11为根节点的子树进行右旋转：
16
/ \
11 17
/ \
7 12
/
2

然后，对以16为根节点的子树进行左旋转：
11
/ \
7 16
/ \ / \
2 12 13 17

7. 插入13，因为13大于11，所以将其插入根节点的右子树：
11
/ \
7 16
/ \ / \
2 12 13 17

8. 插入9，因为9小于11，所以将其插入根节点的左子树。
11
/ \
7 16
/ \ / \
2 9 13 17
/
12

9. 插入21，因为21大于11，所以将其插入根节点的右子树。
11
/ \
7 16
/ \ / \
2 9 13 17
\
21

10. 插入4，因为4小于11，所以将其插入根节点的左子树。此时左子树的高度为4，右子树的高度为2，需要进行旋转操作。
首先，对以7为根节点的子树进行右旋转：
11
/ \
4 16
/ \ / \
2 9 13 17
/ \
7 21
\
12

然后，对以11为根节点的子树进行左旋转：
9
/ \
4 11
/ \ / \
2 7 13 16
\
17
\
21

就这样，我们得到了通过插入关键字序列12，7，17，11，16，2，13，9，21，4而得到的AVL树。

### 回答3：
AVL树是一种平衡二叉搜索树，它的每个节点的平衡因子的绝对值不超过1。根据给定的关键字序列，我们可以通过依次插入节点来构建AVL树。

首先，插入关键字12，它作为根节点。接着插入7，由于节点12与节点7之间的高度差为1，它们的平衡因子的绝对值均小于等于1，因此树仍然平衡。

然后插入关键字17，它大于根节点12，因此成为根节点的右子节点。接着插入11，它小于根节点12，成为根节点的左子节点。

继续插入16，它大于11小于17，成为11的右子节点。接下来插入2，它小于11，成为11的左子节点。

再插入13，它大于11小于16，成为16的左子节点。然后插入9，它小于11大于2，成为2的右子节点。

最后插入21和4，它们分别成为17和2的右子节点。

根据上述插入操作所构造的AVL树如下：
12
/ \
7 17
/ \ / \
2 11 16 21
\ /
4 13
\
9