令 $a_t$ 为 i.i.d. 标准正态随机变量。假设白噪声序列 (包括 ARMA 模型定义 中的白噪声) 指的是线性不相关的序列; 即白噪声序列的方差不一定为常数。 (a) 考虑一个平稳且有因果关系的自回归条件异方差模型 $(\mathrm{ARCH})$, $$ Z_t=a_t \sqrt{1+0.5 Z_{t-1}^2+0.3 Z_{t-2}^2} $$ $Z_t$ 是否服从一个 ARMA 模型? 令 $X_t=Z_t^2, X_t$ 是否服从一个 ARMA 模型? 请 简述你的理由。

(a) $Z_t$ 不一定服从 ARMA 模型。因为 ARMA 模型需要满足平稳性和有界自协方差函数，而 $(\mathrm{ARCH})$ 模型中的条件异方差性会使得其自协方差函数不满足有界性。

但是，当 $Z_t$ 取较小的值时，$(\mathrm{ARCH})$ 模型会近似于平稳的 ARMA 模型，因此可以使用 ARMA 模型来描述 $Z_t$。

(b) 由于 $X_t = Z_t^2$，因此可以将 $(\mathrm{ARCH})$ 模型转化为一个 ARCH(2) 模型，即

$$X_t = a_t^2 (1+0.5 X_{t-1}+0.3 X_{t-2})$$

因此，$X_t$ 是一个 ARCH(2) 模型，而不是 ARMA 模型。这是因为 $X_t$ 的均值和方差都是时间相关的，而 ARMA 模型中的均值和方差都是常数。

(c) 由于 $(\mathrm{ARCH})$ 模型是一个 ARCH(2) 模型，因此 $X_t$ 的自相关系数可以用 ARCH(2) 模型的自相关系数公式进行计算：

$$\rho_k = \frac{0.5\theta_1^k + 0.3\theta_2^k}{1 + 0.5\theta_1^2 + 0.3\theta_2^2}$$

其中 $\theta_1$ 和 $\theta_2$ 是 ARCH(2) 模型的参数。根据 $(\mathrm{ARCH})$ 模型中的参数，我们可以计算出 $\theta_1=0.5$ 和 $\theta_2=0.3$。将其代入上式，我们可以得到 $X_t$ 的自相关系数：

$$\rho_1 = \frac{0.5\times0.5 + 0.3\times0.3}{1 + 0.5\times0.5 + 0.3\times0.3} \approx 0.44$$

$$\rho_2 = \frac{0.5^2\times0.5 + 0.3^2\times0.3}{1 + 0.5\times0.5 + 0.3\times0.3} \approx 0.26$$

$$\rho_k = 0, k \geq 3$$

因此，$X_t$ 的自相关系数是拖尾的，即只有前两个系数显著不为零。