圆柱坐标系下的N-S方程,包括雷诺应力
时间: 2024-03-31 21:35:22 浏览: 15
圆柱坐标系下的 N-S 方程是描述流体在圆柱坐标系下的运动状态的方程。它包括连续性方程、动量方程和能量方程,其中动量方程包括雷诺应力项。
下面给出圆柱坐标系下的 N-S 方程:
连续性方程:
$$\frac{\partial \rho}{\partial t}+\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}(r\rho u)+\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial \theta}(\rho v)+\frac{\partial}{\partial z}(\rho w)=0$$
动量方程:
$$\frac{\partial}{\partial t}(\rho u)+\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}(\rho u^2)+\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial \theta}(\rho u v)+\frac{\partial}{\partial z}(\rho u w)=-\frac{\partial p}{\partial r}+\frac{\tau_{rr}}{\rho r}-\frac{\tau_{\theta r}}{\rho r}-\frac{\tau_{zr}}{\rho}+F_r$$
$$\frac{\partial}{\partial t}(\rho v)+\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}(\rho uv)+\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial \theta}(\rho v^2)+\frac{\partial}{\partial z}(\rho v w)=-\frac{1}{r}\frac{\partial p}{\partial \theta}-\frac{\tau_{r\theta}}{\rho r}-\frac{\tau_{\theta \theta}}{\rho r}-\frac{\tau_{z\theta}}{\rho}+F_\theta$$
$$\frac{\partial}{\partial t}(\rho w)+\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}(\rho uw)+\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial \theta}(\rho vw)+\frac{\partial}{\partial z}(\rho w^2)=-\frac{\partial p}{\partial z}-\frac{\tau_{rz}}{\rho r}-\frac{\tau_{\theta z}}{\rho r}-\frac{\tau_{zz}}{\rho}+F_z$$
其中,$\rho$ 是流体密度,$u,v,w$ 分别是流体在 $r,\theta,z$ 三个方向上的速度分量,$p$ 是流体压力,$\tau_{ij}$ 是雷诺应力张量,$F_r,F_\theta,F_z$ 是外力对流体的作用力。
雷诺应力张量是描述湍流效应的一种物理量,它表示流体中不同位置处的速度差异会产生的附加应力。在圆柱坐标系下,雷诺应力张量的各个分量可以表示为:
$$\tau_{rr}=-2\mu\frac{\partial u}{\partial r}-\frac{2}{3}\mu(\frac{\partial u}{\partial r}+\frac{2}{r}u)$$
$$\tau_{\theta r}=-\mu(\frac{\partial v}{\partial r}+\frac{\partial u}{\partial \theta}-\frac{v}{r})$$
$$\tau_{zr}=-\mu(\frac{\partial w}{\partial r}+\frac{\partial u}{\partial z})$$
$$\tau_{r\theta}=-\mu(\frac{1}{r}\frac{\partial u}{\partial \theta}+\frac{\partial v}{\partial r}-\frac{u}{r})$$
$$\tau_{\theta \theta}=-2\mu\frac{\partial v}{\partial \theta}-\frac{2}{3}\mu(\frac{\partial v}{\partial \theta}-\frac{u}{r})$$
$$\tau_{z\theta}=-\mu(\frac{\partial v}{\partial z}+\frac{1}{r}\frac{\partial w}{\partial \theta})$$
$$\tau_{rz}=-\mu(\frac{\partial w}{\partial z}+\frac{\partial u}{\partial r})$$
其中,$\mu$ 是流体的动力粘度。