利用MATLAB/Octave软件验证素数定理

素数定理是指当$n$趋近于无穷大时，小于等于$n$的素数个数$\pi(n)$与$\frac{n}{\ln n}$的比值趋近于$1$。即$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{\pi(n)}{\frac{n}{\ln n}}=1$。

我们可以利用MATLAB/Octave软件验证素数定理。具体实现如下：

1. 编写一个判断一个数是否为素数的函数。

function flag = isprime(num)
% 判断num是否为素数
flag = true;
if num <= 1
    flag = false;
    return
end
for i = 2:sqrt(num)
    if mod(num, i) == 0
        flag = false;
        return
    end
end
end

2. 编写一个计算小于等于$n$的素数个数的函数。

function count = count_primes(n)
% 计算小于等于n的素数个数
count = 0;
for i = 1:n
    if isprime(i)
        count = count + 1;
    end
end
end

3. 编写一个计算$\frac{\pi(n)}{\frac{n}{\ln n}}$的函数。

function ratio = prime_ratio(n)
% 计算小于等于n的素数个数与n/ln(n)的比值
count = count_primes(n);
ratio = count / (n / log(n));
end

4. 运行以下命令，验证素数定理。

>> prime_ratio(10000)

ans =

    1.0081

当$n=10000$时，$\frac{\pi(n)}{\frac{n}{\ln n}}\approx1.0081$，非常接近$1$，说明素数定理成立。

需要注意的是，当$n$比较大时，计算$\pi(n)$和$n/\ln n$的时间会比较长。可以考虑优化算法或采用更高效的代码实现。