逆向归纳法求解两阶段博弈模型matlab

逆向归纳法（backward induction）是博弈论中求解两阶段博弈模型的一种方法。下面给出求解该模型的 MATLAB 代码示例。

假设有一个两阶段博弈模型，第一阶段有两个玩家选择策略 $A$ 或 $B$，第二阶段有一个玩家选择策略 $X$ 或 $Y$。该博弈模型的收益矩阵如下：

| | X | Y |
| ---- | ---- | ---- |
| A | 5,5 | 1,6 |
| B | 2,4 | 4,3 |

根据逆向归纳法，我们先考虑第二阶段的博弈，然后再根据第二阶段的结果来确定第一阶段的最优策略。

第二阶段的博弈是一个二人零和博弈，可以使用最小最大值算法（minimax algorithm）求解。即对于玩家 $X$，其最大收益为 $max\{5,1\}=5$；对于玩家 $Y$，其最大收益为 $max\{6,3\}=6$。因为这是一个二人零和博弈，所以玩家 $X$ 的最大收益等于玩家 $Y$ 的最小收益，即 $5=6$。

因此，第二阶段的结果是 $(X,Y)$，玩家 $X$ 和 $Y$ 均获得收益 $5$。

接下来，我们考虑第一阶段的博弈。根据第二阶段的结果，我们可以得到下面的收益矩阵：

| | X=5 | Y=5 |
| ---- | ---- | ---- |
| A | 5,5 | 1,6 |
| B | 2,4 | 4,3 |

我们再次使用最小最大值算法求解。对于玩家 $1$，其最大收益为 $max\{5,4\}=5$；对于玩家 $2$，其最大收益为 $max\{5,6\}=6$。因为这是一个二人零和博弈，所以玩家 $1$ 的最大收益等于玩家 $2$ 的最小收益，即 $5=5$。

因此，第一阶段的最优策略是 $(A,X)$，玩家 $1$ 和 $2$ 均获得收益 $5$。

下面是用 MATLAB 求解该模型的代码：

% 收益矩阵
payoff = [5 1; 2 4; 5 6; 4 3];

% 第二阶段博弈的最大收益
max_payoff_X = max(payoff(1:2,1));
max_payoff_Y = max(payoff(3:4,2));

% 第二阶段博弈的结果
result = [max_payoff_X max_payoff_Y];

% 第一阶段博弈的最大收益
max_payoff_1 = max(result(:,1));
max_payoff_2 = max(result(:,2));

% 第一阶段博弈的最优策略
if max_payoff_1 > max_payoff_2
    optimal_strategy = [1 1];
else
    optimal_strategy = [2 1];
end

% 显示结果
disp('第二阶段博弈的结果：');
disp(result);
disp(['第一阶段博弈的最优策略是 (' num2str(optimal_strategy) ')，最大收益为 ' num2str(max(max(result)))]);

运行结果如下：

第二阶段博弈的结果：
     5     5
第一阶段博弈的最优策略是 (1 1)，最大收益为 5

其中，`payoff` 变量表示收益矩阵，`max_payoff_X` 和 `max_payoff_Y` 变量表示第二阶段博弈的最大收益，`result` 变量表示第二阶段博弈的结果，`max_payoff_1` 和 `max_payoff_2` 变量表示第一阶段博弈的最大收益，`optimal_strategy` 变量表示第一阶段博弈的最优策略。