tanx-cosx和1-cosx²无穷小的比较

将tanx-cosx展开成泰勒级数：

tanx-cosx = (x-x^3/3+x^5/5-...) - (1-x^2/2+x^4/24-...)

化简可得：

tanx-cosx = x^3/3 - x^5/15 + x^7/315 - ...

将1-cosx²展开成泰勒级数：

1-cosx² = (x^2/2 - x^4/24 + x^6/720 - ...) - (1 - x^2/2 + x^4/24 - ...)

化简可得：

1-cosx² = x^4/12 - x^6/360 + x^8/20160 - ...

因为在0处，tanx-cosx和1-cosx²的函数值都为0，所以我们可以比较它们的导数在0处的大小关系。

(tanx-cosx)' = 1 - x^2 + 2x^4/3 - ...

(1-cosx²)' = 2x - 4x^3/3 + 6x^5/5 - ...

显然，当x趋近于0时，(tanx-cosx)'的阶数高于(1-cosx²)'的阶数，因此tanx-cosx比1-cosx²更小，即tanx-cosx是1-cosx²的高阶无穷小。