tanx-cosx和1-cosx²无穷小的比较

将tanx-cosx展开成泰勒级数：

tanx-cosx = (x-x^3/3+x^5/5-...) - (1-x^2/2+x^4/24-...)

化简可得：

tanx-cosx = x^3/3 - x^5/15 + x^7/315 - ...

将1-cosx²展开成泰勒级数：

1-cosx² = (x^2/2 - x^4/24 + x^6/720 - ...) - (1 - x^2/2 + x^4/24 - ...)

化简可得：

1-cosx² = x^4/12 - x^6/360 + x^8/20160 - ...

因为在0处，tanx-cosx和1-cosx²的函数值都为0，所以我们可以比较它们的导数在0处的大小关系。

(tanx-cosx)' = 1 - x^2 + 2x^4/3 - ...

(1-cosx²)' = 2x - 4x^3/3 + 6x^5/5 - ...

显然，当x趋近于0时，(tanx-cosx)'的阶数高于(1-cosx²)'的阶数，因此tanx-cosx比1-cosx²更小，即tanx-cosx是1-cosx²的高阶无穷小。

相关问题

tanx-sinx和1-cos²x的无穷小比较

我们可以使用泰勒公式将这两个函数展开成无穷小形式：

tanx-sinx = x + O(x³)

1-cos²x = sin²x = O(x²)

因此，当 x 趋近于 0 时，tanx-sinx 和1-cos²x 的无穷小比较为：

(tanx-sinx)/(1-cos²x) = (x + O(x³))/(O(x²)) = x/O(x²) = 1/x

所以，当 x 趋近于 0 时，(tanx-sinx)/(1-cos²x) 的极限不存在。

tanx - sinx 等于什么 tan(1-cosx ) 为什么

根据三角函数的定义，我们有：

tanx = sinx / cosx

将其代入 tanx - sinx 中，得到：

tanx - sinx = sinx / cosx - sinx = (sinx - sinx*cosx) / cosx

再将 1 - cosx 代入 tan(1-cosx) 中，得到：

tan(1-cosx) = sin(1-cosx) / cos(1-cosx)

利用三角函数的和差公式，可以将 sin(1-cosx) 和 cos(1-cosx) 分别表示为：

sin(1-cosx) = sin1 * coscosx - cos1 * sincosx
cos(1-cosx) = cos1 * coscosx + sin1 * sincosx

将上述两式代入 tan(1-cosx) 中，得到：

tan(1-cosx) = (sin1 * coscosx - cos1 * sincosx) / (cos1 * coscosx + sin1 * sincosx)

我们知道，sin1 和 cos1 分别是 1 的正弦和余弦值，因此有：

sin1 = sin(pi/2) = 1
cos1 = cos(pi/2) = 0

将其代入上述式子中，得到：

tan(1-cosx) = (sinx*cosx - 0*sincosx) / (0*cosx + 1*sincosx) = sinx / cosx = tanx - sinx

因此，tan(1-cosx) 等于 tanx - sinx。