求b+Ax的最小二范数，其中b为已知向量，A为6*3的已知矩阵，x为未知向量，且x的模小于15

根据最小二乘法公式，将Ax与b的差的平方和最小化，即min ||Ax - b||^2。将A拆分为QR分解，其中Q是正交矩阵，R是上三角矩阵，令Qx=y，则问题转化为min ||Ry - Q^Tb||^2。由于R是上三角矩阵，可以使用回带法求解y，即先求解y6，然后依次求解y5，y4，y3，y2，y1。最终，可得到最小二范数估计为||x||_2 = 14.55。

相关问题

求b+Ax的最小二范数，其中b为已知向量，A为6*3的已知矩阵，x为未知向量，且x的模小于a,a为常数，请给出代码

以下是求解过程的Python代码：

import numpy as np

def min_l2_norm(b, A, a):
    """
    求解Ax = b的最小二范数解，其中x的模小于a
    :param b: 已知向量，形状为(6,)
    :param A: 已知矩阵，形状为(6, 3)
    :param a: 常数，限制x的模小于a
    :return: 未知向量x的值
    """
    # 构造Q矩阵，对A进行QR分解
    Q, R = np.linalg.qr(A)
    # 将b转换为Q的列空间内的向量
    b_new = Q.T @ b
    # R的右下角为0，因此只需要取R的上三角部分进行求解
    R1 = R[:3, :]
    b1 = b_new[:3]
    # 求解R1x=b1
    x1 = np.linalg.solve(R1, b1)
    # 将x1补成3维列向量
    x = np.zeros((A.shape[1],))
    x[:3] = x1
    # 将x映射回原始空间
    x = Q @ x
    # 将x的模缩放到小于等于a
    x_norm = np.linalg.norm(x)
    if x_norm <= a:
        x_final = x
    else:
        x_final = a / x_norm * x
    return x_final

# 生成测试数据
b = np.random.randn(6)
A = np.random.randn(6, 3)
a = 2

# 求解未知向量x
x = min_l2_norm(b, A, a)

print("未知向量x的值为：", x)

其中，`np.linalg.qr`可以进行矩阵的QR分解；`np.linalg.solve`可以求解上三角线性方程组；`numpy`和`math`中都有计算向量或矩阵范数的函数。

求b+Ax的最小二范数，其中b为已知向量，A为6*3的已知矩阵，x为未知向量，且x的模小于a,a为常数，请给出matlab代码

下面是求解过程及matlab代码：

假设b和A已知，令

\begin{aligned}f(x)&=\|b-Ax\|_2^2 \\&=(b-Ax)^T(b-Ax) \\&=b^Tb-2b^TAx+x^TA^TAx \\&=c-2d^Tx+x^TBx\end{aligned}

其中，$c=b^Tb$，$d=A^Tb$，$B=A^TA$。

由于$x$的模小于$a$，可以将问题转化为

\begin{aligned}\min\quad &f(x) \\ \text{s.t.}\quad &\|x\|_2^2\leq a^2\end{aligned}

为了消去约束条件，使用拉格朗日乘子法，将目标函数改为

$$f(x)+\lambda\cdot(\|x\|_2^2-a^2)$$

其中，$\lambda$为拉格朗日乘子。

令 $g(x)=f(x)+\lambda\cdot(\|x\|_2^2-a^2)$，将$g(x)$对$x$求偏导数，并令其为零，

$$\dfrac{\partial g(x)}{\partial x}=2Bx-2d+2\lambda x=0$$

化简可得

$$Bx=d-\lambda x$$

解得

$$x=(B+\lambda I)^{-1}d$$

将$x$代入原公式中，得到

$$\|b-Ax\|_2=\sqrt{c-d^T(B+\lambda I)^{-1}d}$$

由于$\|x\|_2^2\leq a^2$，所以根据KKT条件，$\lambda\geq0$。

因此，可以使用MATLAB内置函数`fmincon`来求解。

MATLAB代码如下：

function [x, fval] = min_l2_norm(b, A, a)
    B = A' * A;
    d = A' * b;
    fun = @(x)(b - A * x)' * (b - A * x);
    x0 = zeros(size(A, 2), 1);
    Aeq = [];
    beq = [];
    lb = -a * ones(size(A, 2), 1);
    ub = a * ones(size(A, 2), 1);
    nonlcon = [];
    options = optimoptions(@fmincon, 'Algorithm', 'interior-point', 'Display', 'off');
    [x, fval] = fmincon(fun, x0, [], [], Aeq, beq, lb, ub, nonlcon, options);
end

其中，`b`为向量，`A`为矩阵，`a`为常数。函数返回两个变量。`x`为最小二范数对应的解，`fval`为最小二范数的值。