sp.eye(adj.shape[0])

这行代码是创建一个大小为`(adj.shape[0], adj.shape[0])`的单位矩阵（Identity Matrix），其中`adj.shape[0]`表示矩阵`adj`的行数。单位矩阵是一种特殊的方阵，其主对角线上的元素均为1，其余元素均为0。在这里，它被用作构建对角矩阵，以便在计算图卷积时添加自环（self-loops）。这可以确保每个节点都考虑到自己的特征。

相关问题

请解释以下代码： adj = adj + sp.eye(adj.shape[0]) adj = normalize(adj) adj = sparse_mx_to_torch_sparse_tensor(adj)

这段代码的作用是将输入的邻接矩阵进行预处理，以便用于图神经网络的训练。

解释如下：

1. `adj` 是输入的邻接矩阵。

2. `sp.eye(adj.shape[0])` 用于生成一个对角矩阵，其主对角线上的元素为1，其余元素为0，大小与 `adj` 相同。

3. `adj = adj + sp.eye(adj.shape[0])` 将对角矩阵与邻接矩阵相加，目的是将自环的影响加入邻接矩阵中。

4. `normalize(adj)` 对邻接矩阵进行归一化处理，以使其具有更好的数值特性，常用的归一化方法有对称归一化和随机游走归一化。

5. `sparse_mx_to_torch_sparse_tensor(adj)` 将邻接矩阵转化为稀疏张量，以便用于 PyTorch 的图神经网络模块。

综上所述，这段代码的作用是将输入的邻接矩阵进行自环处理和归一化处理，最后将处理后的邻接矩阵转化为稀疏张量。这些处理步骤旨在提高图神经网络模型的训练效果和泛化能力。

def trigonalise(M): n, p = M.shape assert n==p if n==1: return sp.eye(1) # Recherche d'un vecteur propre step1 = M.eigenvects() E1 = step1[0][2][0] # Vérification qu'on obtient une matrice inversible for i in range(n): P = sp.zeros(n, n) P[:, 0] = E1 l = list(range(n)) l.remove(i) P[:, 1:] = sp.eye(n)[:, l] if P.det() != 0: break # Récurrence Q = trigonalise((P.inv()@M@P)[1:, 1:]) QQ = sp.Matrix(sp.BlockDiagMatrix(sp.eye(1), Q)) return P@QQ这段代码在干什么

这段代码的功能是将给定的方阵 $M$ 转化为三角形式。它使用了类似于 QR 分解的方法，通过不断左乘和右乘正交矩阵将 $M$ 转化为上三角矩阵。具体来说，它的实现过程如下：

1. 如果 $M$ 是一个 $1\times 1$ 的矩阵，直接返回单位矩阵；
2. 找到 $M$ 的一个特征向量 $E_1$，并构造一个正交矩阵 $P$，使得 $P^{-1}MP$ 的第一行和第一列全是 $0$（具体构造方法见代码）；
3. 递归地对 $P^{-1}MP$ 的右下角子矩阵进行三角化，得到一个上三角矩阵 $Q$；
4. 将 $P$ 和 $Q$ 拼接成一个新的上三角矩阵 $QQ$；
5. 返回 $M$ 的三角形式 $PQQP^{-1}$。

其中，$sp$ 是 Python 的 sympy 库，它提供了矩阵计算、特征值特征向量计算等功能。