【每日一题】已知一棵完全二叉树的第 6 层(设根为第 1 层)有 8 个叶结点,则该完全二叉树的 结点个数最多是 。 A.39 B.52 C.111 D.119
时间: 2024-01-01 09:06:52 浏览: 102
对于一棵完全二叉树,如果它的深度为h,则它的叶子节点个数为$2^{h-1}$个。因此,这道题中第6层有8个叶子节点,可以得出这棵完全二叉树的深度为$6+\log_2 8=9$。
接下来,我们考虑满二叉树和完全二叉树之间的关系。对于深度为h的满二叉树,它的节点数为$2^h-1$个。对于深度为h的完全二叉树,它的叶子节点个数为$2^{h-1}$个。因此,我们可以通过完全二叉树的叶子节点个数,来确定它所在的满二叉树的深度。
对于本题中的完全二叉树,它的深度为9,它所在的满二叉树的深度为4。因此,我们可以计算出该满二叉树的节点数为$2^4-1=15$个。接下来,我们需要剪去完全二叉树中多余的节点。
完全二叉树中,深度为1到h-1的节点都是满的,深度为h的节点可能不满,但它的左子树一定是满的。因此,我们可以计算出深度为1到8的节点数之和为$2^8-1=255$个。最后,我们还需要计算出深度为9的节点个数。
对于深度为9的节点,我们需要分别考虑左子树和右子树。左子树是完全二叉树,它的深度为8,有$2^7=128$个节点。右子树是满二叉树,它的深度为8,有$2^8-1=255$个节点。因此,深度为9的节点个数为$128+255=383$个。
综上所述,该完全二叉树的节点个数最多是$15+255+383=653$个。因此,选项C是正确的。
相关问题
已知一棵完全二叉树的第5层(设根为第1层)有8个叶结点,则该完全二叉树的结点个数最多是
253个。
解析:
首先,这是一棵完全二叉树,因此第1层只有根结点,第2层有2个结点,第3层有4个结点,第4层有8个结点,第5层有16个结点。
又已知第5层有8个叶结点,因此第5层所有结点都是叶结点,第6层没有结点。
设该二叉树共有n个结点,则有:
n = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 = 31
但是根据题目所给信息,第5层有8个叶结点,即该二叉树的叶结点数为8,则该二叉树的高度为5,而根据完全二叉树的性质,高度为h的完全二叉树的结点数最多为2^(h+1)-1。因此,该完全二叉树的结点个数最多为:
2^(5+1)-1=63
又因为该二叉树只有8个叶结点,因此结点数不会达到63。因此,该完全二叉树的结点个数最多是253个。
已知一棵完全二叉树的第6层(设根为第1层)有8个叶结点,则该完全二叉树的结点个数最多是
### 回答1:
255个。
解析:
由于完全二叉树的特点是除了最后一层,其它层都是满的,所以第6层的8个叶结点是前5层所有结点数的和,即:
1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 8 = 39
所以该完全二叉树的高度为6,且共有39个结点。
又因为完全二叉树的结点数最多为2的h次方-1,其中h为树的高度,所以该完全二叉树的结点数最多为2的6次方-1=63-1=62。
但是由于第6层只有8个叶结点,所以该完全二叉树的结点数不足62个,最多只有61个。
综上所述,该完全二叉树的结点个数最多是255个。
### 回答2:
对于一棵完全二叉树,第 k 层最多有 2^(k-1) 个节点,因为第 k 层的节点编号是从 2^(k-1) 到 2^k-1。
根据题目,第 6 层有 8 个叶节点,叶节点只能在最后一层,所以第 6 层是最后一层,即这棵完全二叉树的深度为 6。从第 1 层到第 5 层每层都有满的节点数,即第 5 层的节点数为 2^4=16,第 4 层的节点数为 2^3=8,第 3 层的节点数为 2^2=4,第 2 层的节点数为 2^1=2,第 1 层的节点数为 2^0=1。因此,这棵完全二叉树前 5 层的节点总数为 1 + 2 + 4 + 8 + 16 = 31 个。
根据完全二叉树节点个数的特点,最后一层的节点数可以是 1~8 个,所以该完全二叉树的节点个数最多是前 5 层节点个数加上最后一层的最大节点数,即 31 + 8 = 39 个。因此,该完全二叉树的节点个数最多是 39 个。
### 回答3:
题目要求我们计算完全二叉树中结点的最大个数,因此我们需要确定完全二叉树的深度,进而计算结点的总数。
首先,由于完全二叉树的特点是除了最后一层外,其他层都是满的,因此可以根据题意推出该完全二叉树的深度为 $\lceil \log_2 8 + 1 \rceil = 4$。这里利用了一个公式,即完全二叉树的叶子节点数为 $2^k$,则它的深度为 $\lceil \log_2 2^k + 1 \rceil = \lceil k + 1 \rceil$。
然后,我们可以通过完全二叉树结点个数的公式 $2^{h} - 1$ 计算该完全二叉树的结点总数,其中 $h$ 代表完全二叉树的深度。利用这个公式,我们可以得到该完全二叉树的结点个数最多为 $2^{4} - 1 = 15$。
因此,答案是:该完全二叉树的结点个数最多是 15。
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