2022VSc#求解五元一次方程组

五元一次方程组的一般形式为：

a1x1 + b1x2 + c1x3 + d1x4 + e1x5 = f1

a2x1 + b2x2 + c2x3 + d2x4 + e2x5 = f2

a3x1 + b3x2 + c3x3 + d3x4 + e3x5 = f3

a4x1 + b4x2 + c4x3 + d4x4 + e4x5 = f4

a5x1 + b5x2 + c5x3 + d5x4 + e5x5 = f5

其中，a1~e5和f1~f5都是已知常数，需要求解未知数x1~x5的值。可以通过高斯消元法求解该方程组。

具体步骤如下：

1. 将方程组写成增广矩阵的形式，即：

| a1 b1 c1 d1 e1 | f1 |

| a2 b2 c2 d2 e2 | f2 |

| a3 b3 c3 d3 e3 | f3 |

| a4 b4 c4 d4 e4 | f4 |

| a5 b5 c5 d5 e5 | f5 |

2. 对第一列进行消元，使得第一列除了第一个元素以外的其他元素都为0。具体步骤为：将第一行乘以a2/a1，然后将第二行减去第一行的结果。再将第一行乘以a3/a1，将第三行减去第一行的结果，以此类推。消元后，增广矩阵的形式为：

| a1 b1 c1 d1 e1 | f1 |

| 0 b2'-b1'*a2/a1 c2'-c1'*a2/a1 d2'-d1'*a2/a1 e2'-e1'*a2/a1 | f2'-f1'*a2/a1 |

| 0 b3'-b1'*a3/a1 c3'-c1'*a3/a1 d3'-d1'*a3/a1 e3'-e1'*a3/a1 | f3'-f1'*a3/a1 |

| 0 b4'-b1'*a4/a1 c4'-c1'*a4/a1 d4'-d1'*a4/a1 e4'-e1'*a4/a1 | f4'-f1'*a4/a1 |

| 0 b5'-b1'*a5/a1 c5'-c1'*a5/a1 d5'-d1'*a5/a1 e5'-e1'*a5/a1 | f5'-f1'*a5/a1 |

其中，b2'、c2'、d2'、e2'、f2'、b3'、c3'、d3'、e3'、f3'、b4'、c4'、d4'、e4'、f4'、b5'、c5'、d5'、e5'、f5'都是新的已知常数。

3. 对第二列进行消元，使得第二列除了第二个元素以外的其他元素都为0。具体步骤为：将第二行乘以b3'/b2'，然后将第三行减去第二行的结果。再将第二行乘以b4'/b2'，将第四行减去第二行的结果，以此类推。消元后，增广矩阵的形式为：

| a1 b1 c1 d1 e1 | f1 |

| 0 b2' c2' d2' e2' | f2' |

| 0 0 c3'' d3'' e3'' | f3'' |

| 0 0 c4'' d4'' e4'' | f4'' |

| 0 0 c5'' d5'' e5'' | f5'' |

其中，c3''、d3''、e3''、f3''、c4''、d4''、e4''、f4''、c5''、d5''、e5''、f5''都是新的已知常数。

4. 重复步骤3，对第三、第四、第五列进行消元，直到所有未知数的值都求出为止。

注意事项：

1. 在消元的过程中，如果某一行的第一个元素为0，则需要交换该行和下一行的位置。

2. 如果某一行的所有元素都为0，而该行的方程式等于一个非零常数，则方程组无解。

3. 如果方程组有多解，则未知数的个数与方程组的秩不相等。