1^3+2^3+...+n^3=[(1+n)*n/2]的推导过程

这个等式的推导过程可以用数学归纳法来证明。

首先，当n=1时，等式左边为1^3=1，右边为[(1+1)*1/2]=1，等式成立。

然后，假设当n=k时，等式成立，即1^3+2^3+...+k^3=[(1+k)*k/2]。

接下来，我们来证明当n=k+1时，等式也成立。

首先，我们将1^3+2^3+...+k^3拆分成两部分：1^3+2^3+...+(k-1)^3和k^3。

根据归纳假设，1^3+2^3+...+(k-1)^3=[(1+k-1)*(k-1)/2]=[(k)*(k-1)/2]。

因此，当n=k+1时，等式左边为1^3+2^3+...+k^3+(k+1)^3，即[(k)*(k-1)/2]+(k+1)^3。

将其中的(k+1)^3展开，得到[(k)*(k-1)/2]+(k^3+3k^2+3k+1)。

将其化简，得到[(k+1)*(k^2+k+1)/2]，即等式右边。

因此，当n=k+1时，等式也成立。

综上所述，由数学归纳法可知，1^3+2^3+...+n^3=[(1+n)*n/2]成立。