如何利用齐次坐标和齐次变换矩阵来表示机器人末端执行器的位姿变化？请提供具体的计算步骤和数学表示。

要准确地表示机器人末端执行器的位姿变化，可以使用齐次坐标和齐次变换矩阵。这些数学工具不仅帮助我们描述三维空间中的位置和方向，还使得变换的计算变得简洁。首先，需要理解基本概念：齐次坐标通过添加一个额外的维度（通常是第四维，w），将三维空间中的点表示为四维向量。这样的表示方法可以方便地进行平移和旋转操作。

参考资源链接：[机器人运动学：位姿描述与齐次变换详解](https://wenku.csdn.net/doc/6babz11yx9?spm=1055.2569.3001.10343)

位姿变化可以通过一系列的齐次变换矩阵的乘积来表示。具体步骤如下：

1. 设定初始位姿：如果机器人的初始位姿为单位位姿，那么对应的齐次变换矩阵为单位矩阵，表示机器人基座相对于全局坐标系的位置和方向。

2. 计算关节变换：根据每个关节变量的类型（旋转或移动），分别构造相应的旋转或平移矩阵。例如，对于旋转关节，可以构造出绕任意轴旋转的旋转矩阵；对于移动关节，构造出沿某一轴平移的变换矩阵。

3. 齐次坐标转换：将末端执行器上的点坐标转换为齐次坐标形式。如果原始坐标是(x, y, z)，则对应的齐次坐标是[x, y, z, 1]。

4. 应用变换矩阵：将上一步得到的齐次坐标与之前构造的旋转和平移矩阵相乘，得到新的齐次坐标，该坐标描述了末端执行器在变换后的新位置和方向。

5. 重复计算：对于每一个关节，重复步骤2到4，得到最终的末端执行器位姿的齐次变换矩阵。

例如，假设机器人只有一个绕Z轴旋转的关节，旋转角度为θ，那么旋转矩阵Rz(θ)为：

[ cos(θ) -sin(θ) 0 0 ]
[ sin(θ) cos(θ) 0 0 ]
[ 0 0 1 0 ]
[ 0 0 0 1 ]

如果机器人基座原点的齐次坐标表示为[0, 0, 0, 1]，则在旋转θ角度后的末端执行器的齐次坐标为[0, 0, 0, 1] * Rz(θ)。

通过学习《机器人运动学：位姿描述与齐次变换详解》，你可以掌握如何使用数学工具来精确地表示和计算机器人末端执行器的位姿变化。这不仅适用于单个关节的旋转，还可以扩展到多个关节，包括不同类型的旋转和平移操作。这本书会帮助你深入理解齐次变换在机器人学中的应用，以及如何在实际工程项目中实施这些概念。

参考资源链接：[机器人运动学：位姿描述与齐次变换详解](https://wenku.csdn.net/doc/6babz11yx9?spm=1055.2569.3001.10343)