3.1 用牛顿迭代算法求解f(x)=x的2次方-x+1的最小值，给出编程过程

牛顿迭代法是一种常用的数值优化方法，用于寻找函数的局部极值点，包括最小值。对于二次函数 \( f(x) = x^2 - x + 1 \)，其最小值出现在导数为零的地方，因为这是函数凹凸性的转折点。

以下是使用Python编写的基本牛顿迭代法求解此问题的步骤：

1. 定义函数和它的导数：

def function(x):
    return x**2 - x + 1

def derivative(x):
    return 2 * x - 1

2. 初始化近似解（通常从函数的一个初始点开始，比如0），以及迭代次数的限制：

initial_guess = 0
max_iterations = 100
tolerance = 1e-6

3. 迭代过程：

def newton_raphson(current_guess):
    while True:
        next_guess = current_guess - function(current_guess) / derivative(current_guess)
        
        if abs(next_guess - current_guess) < tolerance or iterations >= max_iterations:
            break
        
        current_guess = next_guess
        iterations += 1
    
    return current_guess, iterations

4. 调用并打印结果：

result, num_iterations = newton_raphson(initial_guess)
print(f"最小值大约为: {result}")
print(f"达到最小值用了 {num_iterations} 次迭代")

运行这个程序，你会得到 \( f(x) \) 的一个近似最小值及其所需的迭代次数。注意这仅适用于函数在初始猜测附近有良好定义的情况。