最小二乘支持向量机 MATLAB

### 关于在MATLAB中实现最小二乘支持向量机

最小二乘支持向量机（Least Squares Support Vector Machines, LS-SVM）是一种改进的支持向量机模型，在求解过程中采用等式约束代替不等式约束，从而简化优化问题。对于线性和非线性分类以及回归分析等问题具有良好的适用性。

#### 实现方法概述

为了实现在MATLAB中的LS-SVM，可以利用现有的工具箱或者自行编写代码来完成训练过程。通常情况下，会涉及到构建核函数矩阵、计算拉格朗日乘子α以及其他参数的选择等工作[^1]。

下面是一个简单的基于高斯径向基函数(RBF)内核的最小二乘支持向量机回归器的例子：

function [alpha,bias,err_train,err_test]=lssvm_rbf(Xtrain,Ytrain,Xtest,Ytest,gamma,C)
% LSSVM_RBF Least squares SVM with RBF kernel.
%
% Inputs:
% Xtrain - Training data points as rows of matrix.
% Ytrain - Corresponding target values for training set.
% Xtest  - Test data points as rows of another matrix.
% Ytest  - True outputs corresponding to test inputs.
% gamma  - Parameter controlling width of Gaussian kernels.
% C      - Regularization parameter.

n=size(Xtrain,1);
K=zeros(n,n); % Kernel Matrix initialization
for i=1:n
    for j=i:n
        K(i,j)=exp(-gamma*norm(Xtrain(i,:)-Xtrain(j,:))^2);
        if i~=j
            K(j,i)=K(i,j);
        end
    end
end

H=[eye(n)/C,K;K',zeros(1,n+1)];
f=[Ytrain'; zeros(n+1,1)];

sol=H\f;
alpha=sol(1:n);
bias=-sum(alpha.*diag(K));

% Predict on train & test sets
[Yhat_train,err_train]=predict_lssvm(Xtrain,alpha,bias,Xtrain,gamma);
[Yhat_test,err_test]=predict_lssvm(Xtest,alpha,bias,Xtrain,gamma);

function [y_pred,error]=predict_lssvm(x_new,alpha,b,x_old,gamma)
kernels=bsxfun(@minus,x_new*x_old',sum(x_old.^2,2)');
kernels=kernels+(sum(x_new.^2,2)'-2*kernels).*gamma;
kernels=exp(-kernels);
y_pred=sum(bsxfun(@times,kernels.',alpha),2)+b;

error=mean((y_pred-Y).^2);

此段脚本定义了一个名为`lssvm_rbf`的功能函数用于创建并评估一个RBF类型的LS-SVM模型，并提供预测功能以便后续应用到新的数据集上。注意这里的输入变量包括了训练样本及其标签(`Xtrain`, `Ytrain`)、测试样本及其真实值(`Xtest`,`Ytest`)还有两个超参——正则化系数\(C\) 和 高斯宽度\(\gamma\)【^1】。