hessian-vector products

Hessian-vector products指的是Hessian矩阵与一个向量的乘积。Hessian矩阵是一个二阶偏导数的矩阵，它表示了多元函数的二阶导数，即在多变量优化问题中，描述了目标函数的局部曲率。在优化算法中，尤其是大规模问题的优化，精确计算Hessian矩阵往往是计算量巨大的，而Hessian-vector products可以用来近似Hessian矩阵的某些性质，而不必直接计算整个矩阵。

在Quasi-Newton方法中，如L-BFGS（Limited-memory Broyden–Fletcher–Goldfarb–Shanno）算法，Hessian-vector products被用来构建Hessian矩阵的近似，从而避免了直接计算高维Hessian矩阵的存储和计算负担。L-BFGS算法维护了一系列向量的乘积，当需要计算Hessian矩阵时，这些向量的乘积被用来近似真实的Hessian矩阵的逆或者近似Hessian矩阵本身。

使用Hessian-vector products的优势在于：
1. 计算效率：不需要存储完整的Hessian矩阵，计算量通常远小于直接计算Hessian矩阵。
2. 存储效率：不需要保存Hessian矩阵的完整信息，节省了内存。
3. 应用灵活性：在大规模优化问题中，Hessian-vector products提供了一种有效的方式来利用Hessian矩阵的性质，而不受直接计算和存储Hessian矩阵的限制。