基于动力学模型的MPC

基于动力学模型的MPC，是指利用系统的动力学模型进行预测和控制的一种模型预测控制方法。该方法通过建立系统的数学模型，预测系统未来的状态和输出，并根据预测结果进行控制决策。

在MPC中，控制器通过对当前状态和一定时域内的未来状态进行优化，以达到对系统最优控制的目的。动力学模型是MPC的关键，它描述了系统的行为和响应，通常采用微分方程或差分方程来表示。

基于动力学模型的MPC的主要步骤包括：

1. 建立系统的动力学模型。

2. 确定控制变量和状态变量。

3. 设定控制目标和约束条件。

4. 预测一定时域内的状态和输出。

5. 通过优化求解当前时刻的最优控制决策。

6. 实施控制，更新状态，重复以上步骤进行控制。

该方法适用于具有复杂动力学行为的系统，如过程控制、机器人控制、交通控制等领域。

相关问题

阿克曼模型基于动力学 的 MPC 代码

### 实现基于阿克曼模型的动力学MPC

对于实现基于阿克曼模型的动力学MPC，通常涉及多个方面的工作。这不仅限于编写控制器本身，还包括设置环境、定义车辆动力学方程以及配置用于优化求解器的相关参数。

#### 定义阿克曼转向几何关系

为了使MPC能够处理具有阿克曼转向特性的汽车，在构建状态空间表示时需考虑特定的运动约束条件：

\[ \dot{x} = v\cos(\theta) \\
\dot{y} = v\sin(\theta) \\
\dot{\theta} = \frac{v}{L}\tan(\delta) \\
\dot{v} = a \]

其中 \( L \) 是轴距长度；\( \delta \) 表示前轮转角；\( v \) 和 \( a \) 分别代表速度和加速度[^2]。

import numpy as np

def ackermann_model(x, y, theta, delta, v, dt=0.1):
    """
    阿克曼模型的状态更新函数
    
    参数:
        x (float): 当前位置X坐标
        y (float): 当前位置Y坐标
        theta (float): 方向角度(弧度)
        delta (float): 前轮偏转角度(弧度)
        v (float): 纵向速度(m/s)
        dt (float): 时间步长(s), 默认值为0.1秒
        
    返回:
        tuple: 更新后的状态变量[x_new,y_new,theta_new,v_new]
    """
    
    # 设定固定参数
    wheelbase_length = 2.875  # 米 - 轴距
    
    # 计算新状态
    x_next = x + v * np.cos(theta) * dt
    y_next = y + v * np.sin(theta) * dt
    theta_next = theta + ((v / wheelbase_length) * np.tan(delta)) * dt
    v_next = max(min(v + acceleration_input * dt, vmax), vmin)

    return x_next, y_next, theta_next, v_next

#### 构建并解决最优控制问题(OCP)

利用上述动态方程作为基础来建立OCP框架，通过引入二次规划(QP)或其他合适的数值方法来进行在线计算最佳输入序列。这里可以采用CasADi库简化这一过程:

% 创建符号变量
opti = casadi.Opti();
N = prediction_horizon;
dt = sampling_time;

x = opti.variable(N+1); % X position trajectory over horizon
y = opti.variable(N+1); % Y position trajectory over horizon
psi = opti.variable(N+1); % Heading angle trajectory over horizon
v = opti.variable(N+1);   % Velocity profile along the path
u_a = opti.variable(N);     % Acceleration commands at each time step
u_delta = opti.variable(N); % Steering angles applied during simulation steps

% 设置初始猜测/边界条件...
for k = 0:N-1
    % 动态约束
    opti.subject_to([
        x[k+1]==x[k]+v[k]*cos(psi[k])*dt,
        y[k+1]==y[k]+v[k]*sin(psi[k])*dt,
        psi[k+1]==psi[k]+((v[k]/wheel_base)*tan(u_delta[k]))*dt,
        v[k+1]==v[k]+u_a[k]*dt]);
end

% 成本函数设计...

% 解决最优化问题
sol = solve(opti);

此代码片段展示了如何使用MATLAB/CasADi组合创建一个简单的线性化版本的阿克曼MPC控制器。实际应用中可能还需要加入更多细节如路径跟踪误差惩罚项等以提高性能表现。

动力学模型mpc推到

### 动力学模型MPC（模型预测控制）的推导过程

#### 定义与目标设定
动力学模型预测控制的核心在于通过建立系统的动态方程来描述系统行为，并基于此对未来一段时间内的状态变化做出预测。该方法旨在最小化给定性能指标下的误差，同时满足一系列约束条件。

对于线性离散时间系统，可以表示为：

\[ x(k+1)=Ax(k)+Bu(k), \quad y(k)=Cx(k) \]

其中 \( A, B, C \) 是已知矩阵；\( u(k)\in\mathbb{R}^{m}\ ) 和 \(y(k)\in\mathbb{R}^{p}\) 分别代表输入向量和输出向量；而 \(x(k)\in\mathbb{R}^{n_x}\) 表示内部状态变量[^1]。

#### 预测机制构建
为了实现对未来时刻的状态估计，在每一个采样周期内都需要求解如下形式的一系列优化问题:

\[ J=\sum_{i=0}^{N_p-1}[r(i)-y(i)]^TQ[r(i)-y(i)]+\Delta u(i)^TR\Delta u(i) \]

这里 \( N_p \) 称作预估范围或视界长度；\( r(\cdot) \) 为目标轨迹；权重矩阵 \( Q,R>0 \)，用于调整不同项的重要性程度；增量定义为 \( Δu=u-u_−1 \)[^2]。

#### 控制律设计
考虑到实际执行过程中只采用第一个计算得到的最佳控制动作作为当前步长的决策依据，则整个算法流程可概括成以下几步操作：
1. 利用现有测量数据更新最新状态估值；
2. 构建并解决有限时域上的二次规划(Quadratic Programming,QP)子问题获取最优序列；
3. 应用首个元素至物理装置完成即时调控；
4. 循环往复直至达到期望终点或者终止准则被触发。

% MATLAB伪代码片段展示如何设置QP求解器参数
H = blkdiag(Q, R); % 组合成本函数系数矩阵
Aineq = [eye(Np*m), zeros(Np*m,nx)];
bineq = repmat(-umin, Np, 1);
f = -2*H*(ref-Ypred(:));
[xopt,fval]= quadprog(H,f,Aineq,bineq,[],[],lb,ub);