给定一个平稳过程 $x(n)$ 的自相关函数如下： (1) $r_{xx}(k)=0.5^{|k|}$，对所有$k$成立。 (2) $r_{xx}(k)=0.5^{|k|}+(-0.5)^{|k|}$，对所有$k$成立。 请确定产生 $x(n)$ 的模型。这道题中文具体解题步骤，结果用math type格式显示

根据Wiener-Khinchin定理，自相关函数的傅里叶变换是功率谱密度函数（PSD）。因此，我们可以计算对应的PSD，进而确定平稳过程的模型。

(1) 对于 $r_{xx}(k)=0.5^{|k|}$，它的PSD为：

$$
\begin{aligned}
S_{xx}(e^{j\omega})&=\sum_{k=-\infty}^\infty r_{xx}(k)e^{-j\omega k}\\
&=\sum_{k=-\infty}^\infty 0.5^{|k|}e^{-j\omega k}\\
&=1+2\sum_{k=1}^\infty 0.5^k\cos(\omega k)\\
&=1+\frac{0.5\cos\omega}{1-0.5\cos\omega}
\end{aligned}
$$

因此，产生 $x(n)$ 的模型为一个AR(1)过程，即：

$$
x(n)+0.5x(n-1)=w(n)
$$

其中，$w(n)$ 是方差为 $\sigma_w^2=0.25$ 的白噪声。

(2) 对于 $r_{xx}(k)=0.5^{|k|}+(-0.5)^{|k|}$，它的PSD为：

$$
\begin{aligned}
S_{xx}(e^{j\omega})&=\sum_{k=-\infty}^\infty r_{xx}(k)e^{-j\omega k}\\
&=\sum_{k=-\infty}^\infty (0.5^{|k|}+(-0.5)^{|k|})e^{-j\omega k}\\
&=\frac{1}{1-0.5e^{-j\omega}}+\frac{1}{1+0.5e^{-j\omega}}\\
&=\frac{1.5+e^{-j\omega}}{1-0.25\cos\omega}
\end{aligned}
$$

因此，产生 $x(n)$ 的模型为一个ARMA(1,1)过程，即：

$$
x(n)+0.5x(n-1)=w(n)-0.5w(n-1)
$$

其中，$w(n)$ 是方差为 $\sigma_w^2=0.375$ 的白噪声。