已知某函数的z变换是：X(z)=1/[1-(1/z)].如何求出其零点，极点，收敛域。请详细说明

首先，将X(z)进行分式分解，得到：

X(z) = -1 / [z - 1]

因此，该函数的极点为z=1。因为极点只有一个，所以收敛域为整个z平面，即X(z)在所有z值处均收敛。

接下来，我们考虑如何求出该函数的零点。因为X(z)在所有z值处均收敛，所以它必须要有一个或多个零点来抵消极点的影响，使得X(z)在极点处不发散。

为了求出零点，我们可以将X(z)的分母转化为一个关于z的多项式，然后将它分解因式，找到所有的零点。

将分母转化为多项式：

1 - (1/z) = (z - 1) / z

因此，X(z)可以表示为：

X(z) = -z / (z - 1)

现在，我们要将分母z-1分解因式，得到：

z - 1 = 0

因此，该函数的唯一一个零点是z=0。

综上所述，该函数的极点为z=1，零点为z=0，收敛域为整个z平面。

相关问题

已知某函数的z变换是：X(z)=1/[1-(1/2z)].如何求出其零点，极点，收敛域。请详细说明

根据定义，X(z)的分母为1-(1/2z)，令其等于0，可以得到极点：

1-(1/2z)=0

z=2

因此，该函数的极点为z=2。

对于零点，由于分子为常数1，因此该函数没有零点。

接下来，我们需要确定该函数的收敛域。因为极点为z=2，当z趋近于2时，分母趋近于0，因此该函数在z=2处不收敛。因此，收敛域为所有使得分母不等于0的z值，即：

1-(1/2z)≠0

解得

z≠2

因此，该函数的收敛域为所有使得z不等于2的复平面上的点。

已知某因果稳定系统的差分方程 y(n)-0.75*y(n-1)+0.125*y(n-2)=4*x(n)+3*x(n-1) 求激励x(n)=10*ε(n)的稳态输出响应y(n)

根据差分方程可得：

y(n)-0.75*y(n-1)+0.125*y(n-2)=4*x(n)+3*x(n-1)

将激励x(n)=10*ε(n)代入，则有：

y(n)-0.75*y(n-1)+0.125*y(n-2)=40*ε(n)+30*ε(n-1)

为了求解稳态输出响应y(n)，我们需要先求解该系统的传递函数。对差分方程进行z变换，可得：

Y(z)-0.75z^-1*Y(z)+0.125z^-2*Y(z) = 4X(z)+3z^-1*X(z)

将X(z)替换为10*ε(z)，可得：

Y(z)-0.75z^-1*Y(z)+0.125z^-2*Y(z) = 40ε(z)+30z^-1*ε(z)

进一步整理可得：

Y(z) = (40+30z^-1)/(1-0.75z^-1+0.125z^-2) * ε(z)

将传递函数表示成极点-零点形式，可得：

Y(z) = (40+30z^-1)/(1-0.5z^-1)(1-0.25z^-1) * ε(z)

该系统的极点为z=0.5和z=0.25，均在单位圆内，因此该系统是稳定的。

根据稳态输出响应的定义，我们可以将输入信号看作是一个随机序列，求解其稳态均值和方差。由于输入信号是符合标准正态分布的随机序列，因此其均值为0，方差为1。

根据传递函数可以得到稳态输出响应的均值和方差：

E(y(n)) = E((40+30z^-1)/(1-0.5z^-1)(1-0.25z^-1) * ε(n)) = 0

Var(y(n)) = Var((40+30z^-1)/(1-0.5z^-1)(1-0.25z^-1) * ε(n)) = 4900

因此，稳态输出响应y(n)的均值为0，方差为4900，即：

y(n) ~ N(0, 4900)

其中，N(0, 4900)表示均值为0，方差为4900的正态分布。