f(x)＝1／(1+25x²)，其中x的范围为-1到1，对f(x)拉格朗日插值5次10次20次，并将插值结果与f(x)画在一个坐标系下，Python

拉格朗日插值是一种数值逼近技术，用于估计一个多变量函数在给定点附近的值。对于您给出的函数 `f(x) = 1 / (1 + 25x^2)`，由于它是一个简单的分式形式，理论上可以很容易地通过多项式近似来表示，特别是当我们使用高阶插值时，其效果会接近原函数。

在Python中，我们可以使用`scipy`库中的`linalg`模块来进行拉格朗日插值。但是，这个函数实际上并不需要那么高的次数（比如5次、10次或20次），因为它的解析表达式已知。然而，为了展示过程，我们可以创建一个通用函数来完成多次插值，并用matplotlib绘制比较图。

首先，我们需要导入必要的库：

import numpy as np
from scipy.linalg import lagrange
import matplotlib.pyplot as plt

def f(x):
    return 1 / (1 + 25 * x**2)

# 指定插值点，这里取-1到1内的等间距点
x_values = np.linspace(-1, 1, num=100)
y_values = f(x_values)

# 可选的多次拉格朗日插值，假设我们只做一次
for order in [5, 10, 20]:
    lags = lagrange(x_values, y_values)
    interpolated_values = lags(np.linspace(-1, 1, num=1000))  # 更密的网格以得到平滑曲线

plt.figure()
plt.plot(x_values, y_values, 'o', label='原始函数')
plt.plot(np.linspace(-1, 1), interpolated_values, label=f'拉格朗日插值 ({order}次)')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('f(x)')
plt.legend()
plt.title('Lagrange插值比较')
plt.show()